Cálculo Exemplos

$5^{x} \ln (5) + \frac{2}{x^{2} + 1}$

Etapa 1

Escreva $5^{x} \ln (5) + \frac{2}{x^{2} + 1}$ como uma função.

$f (x) = 5^{x} \ln (5) + \frac{2}{x^{2} + 1}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int 5^{x} \ln (5) + \frac{2}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 5^{x} \ln (5) d x + \int \frac{2}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 5

Como $\ln (5)$ é constante com relação a $x$ , mova $\ln (5)$ para fora da integral.

$\ln (5) \int 5^{x} d x + \int \frac{2}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 6

A integral de $5^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{5^{x}}{\ln (5)}$ .

$\ln (5) (\frac{5^{x}}{\ln (5)} + C) + \int \frac{2}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 7

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\ln (5) (\frac{5^{x}}{\ln (5)} + C) + 2 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 8

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.1

Reordene $x^{2}$ e $1$ .

$\ln (5) (\frac{5^{x}}{\ln (5)} + C) + 2 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 8.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\ln (5) (\frac{5^{x}}{\ln (5)} + C) + 2 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Etapa 9

A integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ com relação a $x$ é $\arctan (x) + C$ .

$\ln (5) (\frac{5^{x}}{\ln (5)} + C) + 2 (\arctan (x) + C)$

Etapa 10

Simplifique.

$5^{x} + 2 \arctan (x) + C$

Etapa 11

A resposta é a primitiva da função $f (x) = 5^{x} \ln (5) + \frac{2}{x^{2} + 1}$ .

$F (x) =$ $5^{x} + 2 \arctan (x) + C$