Cálculo Exemplos

$\frac{1}{50 x - x^{2}}$

Etapa 1

Escreva $\frac{1}{50 x - x^{2}}$ como uma função.

$f (x) = \frac{1}{50 x - x^{2}}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{50 x - x^{2}} d x$

Etapa 4

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 4.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 4.1.1

Fatore $x$ de $50 x - x^{2}$ .

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Etapa 4.1.1.1

Fatore $x$ de $50 x$ .

$\frac{1}{x \cdot 50 - x^{2}}$

Etapa 4.1.1.2

Fatore $x$ de $- x^{2}$ .

$\frac{1}{x \cdot 50 + x (- x)}$

Etapa 4.1.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot 50 + x (- x)$ .

$\frac{1}{x \cdot (50 - x)}$

Etapa 4.1.1.4

Multiplique $x$ por $50 - x$ .

$\frac{1}{x (50 - x)}$

Etapa 4.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{50 - x}$

Etapa 4.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $x (50 - x)$ .

$\frac{1 (x (50 - x))}{x (50 - x)} = \frac{A (x (50 - x))}{x} + \frac{(B) (x (50 - x))}{50 - x}$

Etapa 4.1.4

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (x (50 - x))}{x (50 - x)} = \frac{A (x (50 - x))}{x} + \frac{(B) (x (50 - x))}{50 - x}$

Etapa 4.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (50 - x)}{50 - x} = \frac{A (x (50 - x))}{x} + \frac{(B) (x (50 - x))}{50 - x}$

Etapa 4.1.5

Cancele o fator comum de $50 - x$ .

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Etapa 4.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (50 - x)}{50 - x} = \frac{A (x (50 - x))}{x} + \frac{(B) (x (50 - x))}{50 - x}$

Etapa 4.1.5.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{A (x (50 - x))}{x} + \frac{(B) (x (50 - x))}{50 - x}$

Etapa 4.1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.6.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (x (50 - x))}{x} + \frac{(B) (x (50 - x))}{50 - x}$

Etapa 4.1.6.1.2

Divida $A (50 - x)$ por $1$ .

$1 = A (50 - x) + \frac{(B) (x (50 - x))}{50 - x}$

Etapa 4.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A \cdot 50 + A (- x) + \frac{(B) (x (50 - x))}{50 - x}$

Etapa 4.1.6.3

Mova $50$ para a esquerda de $A$ .

$1 = 50 \cdot A + A (- x) + \frac{(B) (x (50 - x))}{50 - x}$

Etapa 4.1.6.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 = 50 \cdot A - A x + \frac{(B) (x (50 - x))}{50 - x}$

Etapa 4.1.6.5

Cancele o fator comum de $50 - x$ .

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Etapa 4.1.6.5.1

Cancele o fator comum.

$1 = 50 A - A x + \frac{B (x (50 - x))}{50 - x}$

Etapa 4.1.6.5.2

Divida $(B) (x)$ por $1$ .

$1 = 50 A - A x + (B) (x)$

$1 = 50 A - A x + B x$

Etapa 4.1.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1.7.1

Mova $A$ .

$1 = 50 A - x A + B x$

Etapa 4.1.7.2

Reordene $B$ e $x$ .

$1 = 50 A - x A + B x$

Etapa 4.1.7.3

Mova $50 A$ .

$1 = - x A + B x + 50 A$

Etapa 4.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 4.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = - 1 A + B$

Etapa 4.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = 50 A$

Etapa 4.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = - 1 A + B$

$1 = 50 A$

$0 = - 1 A + B$

$1 = 50 A$

Etapa 4.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 4.3.1

Resolva $A$ em $1 = 50 A$ .

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Etapa 4.3.1.1

Reescreva a equação como $50 A = 1$ .

$50 A = 1$

$0 = - 1 A + B$

Etapa 4.3.1.2

Divida cada termo em $50 A = 1$ por $50$ e simplifique.

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Etapa 4.3.1.2.1

Divida cada termo em $50 A = 1$ por $50$ .

$\frac{50 A}{50} = \frac{1}{50}$

$0 = - 1 A + B$

Etapa 4.3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $50$ .

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Etapa 4.3.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{50 A}{50} = \frac{1}{50}$

$0 = - 1 A + B$

Etapa 4.3.1.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{50}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{50}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{50}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{50}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{50}$

$0 = - 1 A + B$

Etapa 4.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $\frac{1}{50}$ em cada equação.

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Etapa 4.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = - 1 A + B$ por $\frac{1}{50}$ .

$0 = - 1 (\frac{1}{50}) + B$

$A = \frac{1}{50}$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.2.2.1

Reescreva $- 1 (\frac{1}{50})$ como $- (\frac{1}{50})$ .

$0 = - \frac{1}{50} + B$

$A = \frac{1}{50}$

$0 = - \frac{1}{50} + B$

$A = \frac{1}{50}$

$0 = - \frac{1}{50} + B$

$A = \frac{1}{50}$

Etapa 4.3.3

Resolva $B$ em $0 = - \frac{1}{50} + B$ .

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Etapa 4.3.3.1

Reescreva a equação como $- \frac{1}{50} + B = 0$ .

$- \frac{1}{50} + B = 0$

$A = \frac{1}{50}$

Etapa 4.3.3.2

Some $\frac{1}{50}$ aos dois lados da equação.

$B = \frac{1}{50}$

$A = \frac{1}{50}$

$B = \frac{1}{50}$

$A = \frac{1}{50}$

Etapa 4.3.4

Resolva o sistema de equações.

$B = \frac{1}{50} A = \frac{1}{50}$

Etapa 4.3.5

Liste todas as soluções.

$B = \frac{1}{50}, A = \frac{1}{50}$

Etapa 4.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x} + \frac{B}{50 - x}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{1}{50}}{x} + \frac{\frac{1}{50}}{50 - x}$

Etapa 4.5

Simplifique.

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Etapa 4.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{50} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{50}}{50 - x}$

Etapa 4.5.2

Multiplique $\frac{1}{50}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{50 x} + \frac{\frac{1}{50}}{50 - x}$

Etapa 4.5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{50 x} + \frac{1}{50} \cdot \frac{1}{50 - x}$

Etapa 4.5.4

Multiplique $\frac{1}{50}$ por $\frac{1}{50 - x}$ .

$\int \frac{1}{50 x} + \frac{1}{50 (50 - x)} d x$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{50 x} d x + \int \frac{1}{50 (50 - x)} d x$

Etapa 6

Como $\frac{1}{50}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{50}$ para fora da integral.

$\frac{1}{50} \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{50 (50 - x)} d x$

Etapa 7

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{50} (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{50 (50 - x)} d x$

Etapa 8

Como $\frac{1}{50}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{50}$ para fora da integral.

$\frac{1}{50} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{50} \int \frac{1}{50 - x} d x$

Etapa 9

Deixe $u = 50 - x$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 9.1

Deixe $u = 50 - x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 9.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 9.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 9.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{50} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{50} \int \frac{- 1}{u} d u$

Etapa 10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{50} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{50} \int - \frac{1}{u} d u$

Etapa 11

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{50} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{50} (- \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 12

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{50} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{50} (- (\ln (| u |) + C))$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Simplifique.

$\frac{1}{50} \ln (| x |) + \frac{1}{50} (- \ln (| u |)) + C$

Etapa 13.2

Combine $\frac{1}{50}$ e $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{50} \ln (| x |) - \frac{\ln (| u |)}{50} + C$

Etapa 14

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $50 - x$ .

$\frac{1}{50} \ln (| x |) - \frac{\ln (| 50 - x |)}{50} + C$

Etapa 15

Reordene os termos.

$\frac{1}{50} \ln (| x |) - \frac{1}{50} \ln (| 50 - x |) + C$

Etapa 16

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{1}{50 x - x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{50} \ln (| x |) - \frac{1}{50} \ln (| 50 - x |) + C$