Cálculo Exemplos

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

Etapa 1

Escreva ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ como uma função.

$f (x) = {(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int {(\sin (x) + \cos (x))}^{2} d x$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reescreva ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ como $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ .

$\int (\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x)) d x$

Etapa 4.2

Expanda $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int \sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) d x$

Etapa 4.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) d x$

Etapa 4.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Etapa 4.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.1.1

Multiplique $\sin (x) \sin (x)$ .

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Etapa 4.3.1.1.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\int \sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Etapa 4.3.1.1.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\int \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Etapa 4.3.1.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Etapa 4.3.1.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Etapa 4.3.1.2

Multiplique $\cos (x) \cos (x)$ .

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Etapa 4.3.1.2.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) d x$

Etapa 4.3.1.2.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) d x$

Etapa 4.3.1.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} d x$

Etapa 4.3.1.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

Etapa 4.3.2

Reordene os fatores de $\sin (x) \cos (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

Etapa 4.3.3

Some $\cos (x) \sin (x)$ e $\cos (x) \sin (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

Etapa 4.4

Mova $\cos^{2} (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Etapa 4.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int 1 + 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Etapa 4.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.6.1

Reordene $2 \cos (x)$ e $\sin (x)$ .

$\int 1 + \sin (x) (2 \cos (x)) d x$

Etapa 4.6.2

Reordene $\sin (x)$ e $2$ .

$\int 1 + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) d x$

Etapa 4.6.3

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$\int 1 + \sin (2 x) d x$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int d x + \int \sin (2 x) d x$

Etapa 6

Aplique a regra da constante.

$x + C + \int \sin (2 x) d x$

Etapa 7

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 7.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 7.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 7.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 7.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 7.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$x + C + \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Etapa 8

Combine $\sin (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$x + C + \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

Etapa 9

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$x + C + \frac{1}{2} \int \sin (u) d u$

Etapa 10

A integral de $\sin (u)$ com relação a $u$ é $- \cos (u)$ .

$x + C + \frac{1}{2} (- \cos (u) + C)$

Etapa 11

Simplifique.

$x - \frac{\cos (u)}{2} + C$

Etapa 12

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$x - \frac{\cos (2 x)}{2} + C$

Etapa 13

Reordene os termos.

$x - \frac{1}{2} \cos (2 x) + C$

Etapa 14

A resposta é a primitiva da função $f (x) = {(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ .

$F (x) =$ $x - \frac{1}{2} \cos (2 x) + C$