Cálculo Exemplos

$- 4 \sin (x) - e^{- x} + 4 x^{3}$

Etapa 1

Escreva $- 4 \sin (x) - e^{- x} + 4 x^{3}$ como uma função.

$f (x) = - 4 \sin (x) - e^{- x} + 4 x^{3}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int - 4 \sin (x) - e^{- x} + 4 x^{3} d x$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - 4 \sin (x) d x + \int - e^{- x} d x + \int 4 x^{3} d x$

Etapa 5

Como $- 4$ é constante com relação a $x$ , mova $- 4$ para fora da integral.

$- 4 \int \sin (x) d x + \int - e^{- x} d x + \int 4 x^{3} d x$

Etapa 6

A integral de $\sin (x)$ com relação a $x$ é $- \cos (x)$ .

$- 4 (- \cos (x) + C) + \int - e^{- x} d x + \int 4 x^{3} d x$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- 4 (- \cos (x) + C) - \int e^{- x} d x + \int 4 x^{3} d x$

Etapa 8

Deixe $u = - x$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 8.1

Deixe $u = - x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 8.1.1

Diferencie $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 8.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 8.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 8.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- 4 (- \cos (x) + C) - \int - e^{u} d u + \int 4 x^{3} d x$

Etapa 9

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- 4 (- \cos (x) + C) - - \int e^{u} d u + \int 4 x^{3} d x$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- 4 (- \cos (x) + C) + 1 \int e^{u} d u + \int 4 x^{3} d x$

Etapa 10.2

Multiplique $\int e^{u} d u$ por $1$ .

$- 4 (- \cos (x) + C) + \int e^{u} d u + \int 4 x^{3} d x$

Etapa 11

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$- 4 (- \cos (x) + C) + e^{u} + C + \int 4 x^{3} d x$

Etapa 12

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$- 4 (- \cos (x) + C) + e^{u} + C + 4 \int x^{3} d x$

Etapa 13

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- 4 (- \cos (x) + C) + e^{u} + C + 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$- 4 (- \cos (x) + C) + e^{u} + C + 4 (\frac{x^{4}}{4} + C)$

Etapa 14.2

Simplifique.

$4 \cos (x) + e^{u} + 4 \frac{x^{4}}{4} + C$

Etapa 14.3

Simplifique.

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Etapa 14.3.1

Combine $4$ e $\frac{x^{4}}{4}$ .

$4 \cos (x) + e^{u} + \frac{4 x^{4}}{4} + C$

Etapa 14.3.2

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 14.3.2.1

Cancele o fator comum.

$4 \cos (x) + e^{u} + \frac{4 x^{4}}{4} + C$

Etapa 14.3.2.2

Divida $x^{4}$ por $1$ .

$4 \cos (x) + e^{u} + x^{4} + C$

Etapa 15

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$4 \cos (x) + e^{- x} + x^{4} + C$

Etapa 16

A resposta é a primitiva da função $f (x) = - 4 \sin (x) - e^{- x} + 4 x^{3}$ .

$F (x) =$ $4 \cos (x) + e^{- x} + x^{4} + C$