Cálculo Exemplos

$x e^{- 7 x}$

Etapa 1

Escreva $x e^{- 7 x}$ como uma função.

$f (x) = x e^{- 7 x}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int x e^{- 7 x} d x$

Etapa 4

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{- 7 x}$ .

$x (- \frac{1}{7} e^{- 7 x}) - \int - \frac{1}{7} e^{- 7 x} d x$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Combine $e^{- 7 x}$ e $\frac{1}{7}$ .

$x (- \frac{e^{- 7 x}}{7}) - \int - \frac{1}{7} e^{- 7 x} d x$

Etapa 5.2

Combine $x$ e $\frac{e^{- 7 x}}{7}$ .

$- \frac{x e^{- 7 x}}{7} - \int - \frac{1}{7} e^{- 7 x} d x$

Etapa 6

Como $- \frac{1}{7}$ é constante com relação a $x$ , mova $- \frac{1}{7}$ para fora da integral.

$- \frac{x e^{- 7 x}}{7} - (- \frac{1}{7} \int e^{- 7 x} d x)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{x e^{- 7 x}}{7} + 1 (\frac{1}{7} \int e^{- 7 x} d x)$

Etapa 7.2

Multiplique $\frac{1}{7}$ por $1$ .

$- \frac{x e^{- 7 x}}{7} + \frac{1}{7} \int e^{- 7 x} d x$

Etapa 8

Deixe $u = - 7 x$ . Depois, $d u = - 7 d x$ , então, $- \frac{1}{7} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 8.1

Deixe $u = - 7 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 8.1.1

Diferencie $- 7 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 7 x]$

Etapa 8.1.2

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7 x$ em relação a $x$ é $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 7 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 7 \cdot 1$

Etapa 8.1.4

Multiplique $- 7$ por $1$ .

$- 7$

Etapa 8.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- \frac{x e^{- 7 x}}{7} + \frac{1}{7} \int e^{u} \frac{1}{- 7} d u$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x e^{- 7 x}}{7} + \frac{1}{7} \int e^{u} (- \frac{1}{7}) d u$

Etapa 9.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{7}$ .

$- \frac{x e^{- 7 x}}{7} + \frac{1}{7} \int - \frac{e^{u}}{7} d u$

Etapa 10

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{x e^{- 7 x}}{7} + \frac{1}{7} (- \int \frac{e^{u}}{7} d u)$

Etapa 11

Como $\frac{1}{7}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{7}$ para fora da integral.

$- \frac{x e^{- 7 x}}{7} + \frac{1}{7} (- (\frac{1}{7} \int e^{u} d u))$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Multiplique $\frac{1}{7}$ por $\frac{1}{7}$ .

$- \frac{x e^{- 7 x}}{7} - \frac{1}{7 \cdot 7} \int e^{u} d u$

Etapa 12.2

Multiplique $7$ por $7$ .

$- \frac{x e^{- 7 x}}{7} - \frac{1}{49} \int e^{u} d u$

Etapa 13

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$- \frac{x e^{- 7 x}}{7} - \frac{1}{49} (e^{u} + C)$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Reescreva $- \frac{x e^{- 7 x}}{7} - \frac{1}{49} (e^{u} + C)$ como $- \frac{1}{7} x e^{- 7 x} - \frac{1}{49} e^{u} + C$ .

$- \frac{1}{7} x e^{- 7 x} - \frac{1}{49} e^{u} + C$

Etapa 14.2

Simplifique.

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Etapa 14.2.1

Combine $x$ e $\frac{1}{7}$ .

$- \frac{x}{7} e^{- 7 x} - \frac{1}{49} e^{u} + C$

Etapa 14.2.2

Combine $e^{- 7 x}$ e $\frac{x}{7}$ .

$- \frac{e^{- 7 x} x}{7} - \frac{1}{49} e^{u} + C$

Etapa 15

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 7 x$ .

$- \frac{e^{- 7 x} x}{7} - \frac{1}{49} e^{- 7 x} + C$

Etapa 16

Combine $e^{- 7 x}$ e $\frac{1}{49}$ .

$- \frac{e^{- 7 x} x}{7} - \frac{e^{- 7 x}}{49} + C$

Etapa 17

Reordene os termos.

$- \frac{1}{7} e^{- 7 x} x - \frac{1}{49} e^{- 7 x} + C$

Etapa 18

A resposta é a primitiva da função $f (x) = x e^{- 7 x}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{7} e^{- 7 x} x - \frac{1}{49} e^{- 7 x} + C$