Cálculo Exemplos

$\sin^{3} (x) \cos^{2} (x)$

Etapa 1

Escreva $\sin^{3} (x) \cos^{2} (x)$ como uma função.

$f (x) = \sin^{3} (x) \cos^{2} (x)$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \sin^{3} (x) \cos^{2} (x) d x$

Etapa 4

Fatore $\sin^{2} (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

Etapa 5

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\sin^{2} (x)$ como $1 - \cos^{2} (x)$ .

$\int (1 - \cos^{2} (x)) \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

Etapa 6

Deixe $u = \cos (x)$ . Depois, $d u = - \sin (x) d x$ , então, $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u = \cos (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 6.1.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

Etapa 7

Multiplique $(- 1 + u^{2}) u^{2}$ .

$\int - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Reescreva $- 1 u^{2}$ como $- u^{2}$ .

$\int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Etapa 8.2

Multiplique $u^{2}$ por $u^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 8.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Etapa 8.2.2

Some $2$ e $2$ .

$\int - u^{2} + u^{4} d u$

Etapa 9

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Etapa 10

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u$

Etapa 12

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{4}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Etapa 13.2

Simplifique.

$- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Etapa 14

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$- \frac{1}{3} \cos^{3} (x) + \frac{1}{5} \cos^{5} (x) + C$

Etapa 15

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \sin^{3} (x) \cos^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} \cos^{3} (x) + \frac{1}{5} \cos^{5} (x) + C$