Cálculo Exemplos

$x \sqrt{3 x - 6}$

Etapa 1

Escreva $x \sqrt{3 x - 6}$ como uma função.

$f (x) = x \sqrt{3 x - 6}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int x \sqrt{3 x - 6} d x$

Etapa 4

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = \sqrt{3 x - 6}$ .

$x (\frac{2}{9} {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{9} {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Combine $\frac{2}{9}$ e ${(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}$ .

$x \frac{2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \int \frac{2}{9} {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 5.2

Combine $x$ e $\frac{2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{9}$ .

$\frac{x (2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \int \frac{2}{9} {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 6

Como $\frac{2}{9}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{2}{9}$ para fora da integral.

$\frac{x (2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}})}{9} - (\frac{2}{9} \int {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Etapa 7

Deixe $u = 3 x - 6$ . Depois, $d u = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 7.1

Deixe $u = 3 x - 6$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 7.1.1

Diferencie $3 x - 6$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 6]$

Etapa 7.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 7.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Etapa 7.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 7.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 7.1.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 7.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 7.1.4.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 + 0$

Etapa 7.1.4.2

Some $3$ e $0$ .

$3$

Etapa 7.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{x (2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{9} \int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} d u$

Etapa 8

Combine $u^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x (2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{9} \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} d u$

Etapa 9

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{x (2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{9} (\frac{1}{3} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{9}$ .

$\frac{x (2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{3 \cdot 9} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Etapa 10.2

Multiplique $3$ por $9$ .

$\frac{x (2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{27} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{3}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x (2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{27} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Reescreva $\frac{x (2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{27} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ como $\frac{2}{9} x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{27} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ .

$\frac{2}{9} x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{27} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 12.2

Simplifique.

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Etapa 12.2.1

Combine $\frac{2}{9}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{9} {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{27} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 12.2.2

Combine $\frac{2 x}{9}$ e ${(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{2}{27} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 12.2.3

Multiplique $\frac{2}{5}$ por $\frac{2}{27}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 27} u^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 12.2.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{5 \cdot 27} u^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 12.2.5

Multiplique $5$ por $27$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 12.2.6

Para escrever $- \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{9}{9} + C$

Etapa 12.2.7

Combine $- \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}}$ e $\frac{9}{9}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{9} + \frac{- \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}} \cdot 9}{9} + C$

Etapa 12.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}} \cdot 9}{9} + C$

Etapa 12.2.9

Combine $u^{\frac{5}{2}}$ e $\frac{4}{135}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{135} \cdot 9}{9} + C$

Etapa 12.2.10

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - 9 \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{135}}{9} + C$

Etapa 12.2.11

Combine $- 9$ e $\frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{135}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 (u^{\frac{5}{2}} \cdot 4)}{135}}{9} + C$

Etapa 12.2.12

Multiplique $4$ por $- 9$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 36 u^{\frac{5}{2}}}{135}}{9} + C$

Etapa 12.2.13

Fatore $9$ de $- 36 u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{135}}{9} + C$

Etapa 12.2.14

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 12.2.14.1

Fatore $9$ de $135$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{9 (15)}}{9} + C$

Etapa 12.2.14.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{9 \cdot 15}}{9} + C$

Etapa 12.2.14.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

Etapa 12.2.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

Etapa 12.2.16

Para escrever $2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{15}{15}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{15}{15} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

Etapa 12.2.17

Combine $2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{15}{15}$ .

$\frac{\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} \cdot 15}{15} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

Etapa 12.2.18

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} \cdot 15 - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

Etapa 12.2.19

Multiplique $15$ por $2$ .

$\frac{\frac{30 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

Etapa 12.2.20

Reescreva $\frac{\frac{30 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9}$ como um produto.

$\frac{30 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} \cdot \frac{1}{9} + C$

Etapa 12.2.21

Multiplique $\frac{30 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15}$ por $\frac{1}{9}$ .

$\frac{30 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15 \cdot 9} + C$

Etapa 12.2.22

Multiplique $15$ por $9$ .

$\frac{30 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{135} + C$

Etapa 13

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x - 6$ .

$\frac{30 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(3 x - 6)}^{\frac{5}{2}}}{135} + C$

Etapa 14

Reordene os termos.

$\frac{1}{135} (30 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(3 x - 6)}^{\frac{5}{2}}) + C$

Etapa 15

A resposta é a primitiva da função $f (x) = x \sqrt{3 x - 6}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{135} (30 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(3 x - 6)}^{\frac{5}{2}}) + C$