Cálculo Exemplos

$\sin (x) \tan^{2} (x)$

Etapa 1

Escreva $\sin (x) \tan^{2} (x)$ como uma função.

$f (x) = \sin (x) \tan^{2} (x)$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \sin (x) \tan^{2} (x) d x$

Etapa 4

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (x)$ como $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int \sin (x) (- 1 + \sec^{2} (x)) d x$

Etapa 5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int \sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) \sec^{2} (x) d x$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

$\int - \sin (x) + \sin (x) \sec^{2} (x) d x$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - \sin (x) d x + \int \sin (x) \sec^{2} (x) d x$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \sin (x) d x + \int \sin (x) \sec^{2} (x) d x$

Etapa 8

A integral de $\sin (x)$ com relação a $x$ é $- \cos (x)$ .

$- (- \cos (x) + C) + \int \sin (x) \sec^{2} (x) d x$

Etapa 9

Simplifique $\sin (x) \sec^{2} (x)$ .

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Etapa 9.1

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$- (- \cos (x) + C) + \int \sin (x) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} d x$

Etapa 9.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$- (- \cos (x) + C) + \int \sin (x) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} d x$

Etapa 9.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$- (- \cos (x) + C) + \int \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)} d x$

Etapa 9.4

Combine $\sin (x)$ e $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$- (- \cos (x) + C) + \int \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} d x$

Etapa 9.5

Fatore $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$- (- \cos (x) + C) + \int \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} d x$

Etapa 9.6

Separe as frações.

$- (- \cos (x) + C) + \int \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} d x$

Etapa 9.7

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$- (- \cos (x) + C) + \int \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) d x$

Etapa 9.8

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$- (- \cos (x) + C) + \int \sec (x) \tan (x) d x$

Etapa 10

Como a derivada de $\sec (x)$ é $\sec (x) \tan (x)$ , a integral de $\sec (x) \tan (x)$ é $\sec (x)$ .

$- (- \cos (x) + C) + \sec (x) + C$

Etapa 11

Simplifique.

$\cos (x) + \sec (x) + C$

Etapa 12

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \sin (x) \tan^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $\cos (x) + \sec (x) + C$