Cálculo Exemplos

$y = 6 x + 7$ , $y = x^{2}$

Etapa 1

Para encontrar o volume do sólido, primeiro defina a área de cada parte e, depois, integre em todo o intervalo. A área de cada parte é a área de um círculo com o raio $f (x)$ e $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{- 1}^{7} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ em que $f (x) = 6 x + 7$ e $g (x) = x^{2}$

Etapa 2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1

Reescreva ${(6 x + 7)}^{2}$ como $(6 x + 7) (6 x + 7)$ .

$V = (6 x + 7) (6 x + 7) - {(x^{2})}^{2}$

Etapa 2.2

Expanda $(6 x + 7) (6 x + 7)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$V = 6 x (6 x + 7) + 7 (6 x + 7) - {(x^{2})}^{2}$

Etapa 2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$V = 6 x (6 x) + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x + 7) - {(x^{2})}^{2}$

Etapa 2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$V = 6 x (6 x) + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x) + 7 \cdot 7 - {(x^{2})}^{2}$

Etapa 2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$V = 6 \cdot (6 x \cdot x) + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x) + 7 \cdot 7 - {(x^{2})}^{2}$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.1.2.1

Mova $x$ .

$V = 6 \cdot (6 (x \cdot x)) + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x) + 7 \cdot 7 - {(x^{2})}^{2}$

Etapa 2.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$V = 6 \cdot (6 x^{2}) + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x) + 7 \cdot 7 - {(x^{2})}^{2}$

Etapa 2.3.1.3

Multiplique $6$ por $6$ .

$V = 36 x^{2} + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x) + 7 \cdot 7 - {(x^{2})}^{2}$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $7$ por $6$ .

$V = 36 x^{2} + 42 x + 7 (6 x) + 7 \cdot 7 - {(x^{2})}^{2}$

Etapa 2.3.1.5

Multiplique $6$ por $7$ .

$V = 36 x^{2} + 42 x + 42 x + 7 \cdot 7 - {(x^{2})}^{2}$

Etapa 2.3.1.6

Multiplique $7$ por $7$ .

$V = 36 x^{2} + 42 x + 42 x + 49 - {(x^{2})}^{2}$

Etapa 2.3.2

Some $42 x$ e $42 x$ .

$V = 36 x^{2} + 84 x + 49 - {(x^{2})}^{2}$

Etapa 2.4

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 36 x^{2} + 84 x + 49 - x^{2 \cdot 2}$

Etapa 2.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$V = 36 x^{2} + 84 x + 49 - x^{4}$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$V = π (\int_{- 1}^{7} 36 x^{2} d x + \int_{- 1}^{7} 84 x d x + \int_{- 1}^{7} 49 d x + \int_{- 1}^{7} - x^{4} d x)$

Etapa 4

Como $36$ é constante com relação a $x$ , mova $36$ para fora da integral.

$V = π (36 \int_{- 1}^{7} x^{2} d x + \int_{- 1}^{7} 84 x d x + \int_{- 1}^{7} 49 d x + \int_{- 1}^{7} - x^{4} d x)$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (36 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{7}) + \int_{- 1}^{7} 84 x d x + \int_{- 1}^{7} 49 d x + \int_{- 1}^{7} - x^{4} d x)$

Etapa 6

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$V = π (36 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{7}) + \int_{- 1}^{7} 84 x d x + \int_{- 1}^{7} 49 d x + \int_{- 1}^{7} - x^{4} d x)$

Etapa 7

Como $84$ é constante com relação a $x$ , mova $84$ para fora da integral.

$V = π (36 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{7}) + 84 \int_{- 1}^{7} x d x + \int_{- 1}^{7} 49 d x + \int_{- 1}^{7} - x^{4} d x)$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (36 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{7}) + 84 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{7}) + \int_{- 1}^{7} 49 d x + \int_{- 1}^{7} - x^{4} d x)$

Etapa 9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$V = π (36 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{7}) + 84 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{7}) + \int_{- 1}^{7} 49 d x + \int_{- 1}^{7} - x^{4} d x)$

Etapa 10

Aplique a regra da constante.

$V = π (36 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{7}) + 84 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{7}) + 49 x]_{- 1}^{7} + \int_{- 1}^{7} - x^{4} d x)$

Etapa 11

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$V = π (36 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{7}) + 84 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{7}) + 49 x]_{- 1}^{7} - \int_{- 1}^{7} x^{4} d x)$

Etapa 12

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (36 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{7}) + 84 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{7}) + 49 x]_{- 1}^{7} - (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{7}))$

Etapa 13

Simplifique a resposta.

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Etapa 13.1

Combine $\frac{1}{5}$ e $x^{5}$ .

$V = π (36 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{7}) + 84 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{7}) + 49 x]_{- 1}^{7} - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{7}))$

Etapa 13.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 13.2.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $7$ e em $- 1$ .

$V = π (36 ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 84 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{7}) + 49 x]_{- 1}^{7} - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{7}))$

Etapa 13.2.2

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $7$ e em $- 1$ .

$V = π (36 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 x]_{- 1}^{7} - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{7}))$

Etapa 13.2.3

Avalie $49 x$ em $7$ e em $- 1$ .

$V = π (36 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{7}))$

Etapa 13.2.4

Avalie $\frac{x^{5}}{5}$ em $7$ e em $- 1$ .

$V = π (36 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Etapa 13.2.5

Simplifique.

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Etapa 13.2.5.1

Eleve $7$ à potência de $3$ .

$V = π (36 (\frac{343}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Etapa 13.2.5.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$V = π (36 (\frac{343}{3} - \frac{- 1}{3}) + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Etapa 13.2.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$V = π (36 (\frac{343}{3} + \frac{1}{3}) + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Etapa 13.2.5.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$V = π (36 (\frac{343}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Etapa 13.2.5.5

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$V = π (36 (\frac{343}{3} + \frac{1}{3}) + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Etapa 13.2.5.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = π (36 (\frac{343 + 1}{3}) + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Etapa 13.2.5.7

Some $343$ e $1$ .

$V = π (36 (\frac{344}{3}) + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Etapa 13.2.5.8

Combine $36$ e $\frac{344}{3}$ .

$V = π (\frac{36 \cdot 344}{3} + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Etapa 13.2.5.9

Multiplique $36$ por $344$ .

$V = π (\frac{12384}{3} + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Etapa 13.2.5.10

Cancele o fator comum de $12384$ e $3$ .

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Etapa 13.2.5.10.1

Fatore $3$ de $12384$ .

$V = π (\frac{3 \cdot 4128}{3} + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Etapa 13.2.5.10.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 13.2.5.10.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$V = π (\frac{3 \cdot 4128}{3 (1)} + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Etapa 13.2.5.10.2.2

Cancele o fator comum.

$V = π (\frac{3 \cdot 4128}{3 \cdot 1} + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Etapa 13.2.5.10.2.3

Reescreva a expressão.

$V = π (\frac{4128}{1} + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Etapa 13.2.5.10.2.4

Divida $4128$ por $1$ .

$V = π (4128 + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Etapa 13.2.5.11

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$V = π (4128 + 84 (\frac{49}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Etapa 13.2.5.12

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$V = π (4128 + 84 (\frac{49}{2} - \frac{1}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Etapa 13.2.5.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = π (4128 + 84 (\frac{49 - 1}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Etapa 13.2.5.14

Subtraia $1$ de $49$ .

$V = π (4128 + 84 (\frac{48}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Etapa 13.2.5.15

Cancele o fator comum de $48$ e $2$ .

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Etapa 13.2.5.15.1

Fatore $2$ de $48$ .

$V = π (4128 + 84 (\frac{2 \cdot 24}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Etapa 13.2.5.15.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 13.2.5.15.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$V = π (4128 + 84 (\frac{2 \cdot 24}{2 (1)}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Etapa 13.2.5.15.2.2

Cancele o fator comum.

$V = π (4128 + 84 (\frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 1}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Etapa 13.2.5.15.2.3

Reescreva a expressão.

$V = π (4128 + 84 (\frac{24}{1}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Etapa 13.2.5.15.2.4

Divida $24$ por $1$ .

$V = π (4128 + 84 \cdot 24 + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Etapa 13.2.5.16

Multiplique $84$ por $24$ .

$V = π (4128 + 2016 + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Etapa 13.2.5.17

Some $4128$ e $2016$ .

$V = π (6144 + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Etapa 13.2.5.18

Multiplique $49$ por $7$ .

$V = π (6144 + 343 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Etapa 13.2.5.19

Multiplique $- 49$ por $- 1$ .

$V = π (6144 + 343 + 49 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Etapa 13.2.5.20

Some $343$ e $49$ .

$V = π (6144 + 392 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Etapa 13.2.5.21

Some $6144$ e $392$ .

$V = π (6536 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Etapa 13.2.5.22

Eleve $7$ à potência de $5$ .

$V = π (6536 - (\frac{16807}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Etapa 13.2.5.23

Eleve $- 1$ à potência de $5$ .

$V = π (6536 - (\frac{16807}{5} - \frac{- 1}{5}))$

Etapa 13.2.5.24

Mova o número negativo para a frente da fração.

$V = π (6536 - (\frac{16807}{5} + \frac{1}{5}))$

Etapa 13.2.5.25

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$V = π (6536 - (\frac{16807}{5} + 1 (\frac{1}{5})))$

Etapa 13.2.5.26

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $1$ .

$V = π (6536 - (\frac{16807}{5} + \frac{1}{5}))$

Etapa 13.2.5.27

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = π (6536 - \frac{16807 + 1}{5})$

Etapa 13.2.5.28

Some $16807$ e $1$ .

$V = π (6536 - \frac{16808}{5})$

Etapa 13.2.5.29

Para escrever $6536$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$V = π (6536 \cdot \frac{5}{5} - \frac{16808}{5})$

Etapa 13.2.5.30

Combine $6536$ e $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{6536 \cdot 5}{5} - \frac{16808}{5})$

Etapa 13.2.5.31

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = π (\frac{6536 \cdot 5 - 16808}{5})$

Etapa 13.2.5.32

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.2.5.32.1

Multiplique $6536$ por $5$ .

$V = π (\frac{32680 - 16808}{5})$

Etapa 13.2.5.32.2

Subtraia $16808$ de $32680$ .

$V = π (\frac{15872}{5})$

Etapa 13.2.5.33

Combine $π$ e $\frac{15872}{5}$ .

$V = \frac{π \cdot 15872}{5}$

Etapa 13.2.5.34

Mova $15872$ para a esquerda de $π$ .

$V = \frac{15872 π}{5}$

Etapa 14

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$V = \frac{15872 π}{5}$

Forma decimal:

$V = 9972.67171955 \dots$

Etapa 15