Cálculo Exemplos

$y = 4 - \frac{3}{2} x$ , $y = 0$ , $x = 0$ , $x = 1$

Etapa 1

Para encontrar o volume do sólido, primeiro defina a área de cada parte e, depois, integre em todo o intervalo. A área de cada parte é a área de um círculo com o raio $f (x)$ e $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} d x$ em que $f (x) = - \frac{3 x}{2} + 4$

Etapa 2

Simplifique o integrando.

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Etapa 2.1

Reescreva ${(- \frac{3 x}{2} + 4)}^{2}$ como $(- \frac{3 x}{2} + 4) (- \frac{3 x}{2} + 4)$ .

$V = (- \frac{3 x}{2} + 4) (- \frac{3 x}{2} + 4)$

Etapa 2.2

Expanda $(- \frac{3 x}{2} + 4) (- \frac{3 x}{2} + 4)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$V = - \frac{3 x}{2} \cdot (- \frac{3 x}{2} + 4) + 4 (- \frac{3 x}{2} + 4)$

Etapa 2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$V = - \frac{3 x}{2} \cdot (- \frac{3 x}{2}) - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2} + 4)$

Etapa 2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$V = - \frac{3 x}{2} \cdot (- \frac{3 x}{2}) - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1

Multiplique $- \frac{3 x}{2} (- \frac{3 x}{2})$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$V = 1 (\frac{3 x}{2}) \cdot \frac{3 x}{2} - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.1.2

Multiplique $\frac{3 x}{2}$ por $1$ .

$V = \frac{3 x}{2} \cdot \frac{3 x}{2} - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.1.3

Multiplique $\frac{3 x}{2}$ por $\frac{3 x}{2}$ .

$V = \frac{3 x (3 x)}{2 \cdot 2} - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.1.4

Multiplique $3$ por $3$ .

$V = \frac{9 x \cdot x}{2 \cdot 2} - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.1.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$V = \frac{9 (x \cdot x)}{2 \cdot 2} - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.1.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$V = \frac{9 (x \cdot x)}{2 \cdot 2} - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.1.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$V = \frac{9 x^{1 + 1}}{2 \cdot 2} - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.1.8

Some $1$ e $1$ .

$V = \frac{9 x^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.1.9

Multiplique $2$ por $2$ .

$V = \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3 x}{2}$ para o numerador.

$V = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{- 3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.2.2

Fatore $2$ de $4$ .

$V = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{- 3 x}{2} \cdot (2 (2)) + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.2.3

Cancele o fator comum.

$V = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{- 3 x}{2} \cdot (2 \cdot 2) + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.2.4

Reescreva a expressão.

$V = \frac{9 x^{2}}{4} - 3 x \cdot 2 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$V = \frac{9 x^{2}}{4} - 6 x + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.1.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3 x}{2}$ para o numerador.

$V = \frac{9 x^{2}}{4} - 6 x + 4 (\frac{- 3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.4.2

Fatore $2$ de $4$ .

$V = \frac{9 x^{2}}{4} - 6 x + 2 (2) (\frac{- 3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.4.3

Cancele o fator comum.

$V = \frac{9 x^{2}}{4} - 6 x + 2 \cdot (2 (\frac{- 3 x}{2})) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.4.4

Reescreva a expressão.

$V = \frac{9 x^{2}}{4} - 6 x + 2 (- 3 x) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.5

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$V = \frac{9 x^{2}}{4} - 6 x - 6 x + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.6

Multiplique $4$ por $4$ .

$V = \frac{9 x^{2}}{4} - 6 x - 6 x + 16$

Etapa 2.3.2

Subtraia $6 x$ de $- 6 x$ .

$V = \frac{9 x^{2}}{4} - 12 x + 16$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$V = π (\int_{0}^{1} \frac{9 x^{2}}{4} d x + \int_{0}^{1} - 12 x d x + \int_{0}^{1} 16 d x)$

Etapa 4

Como $\frac{9}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{9}{4}$ para fora da integral.

$V = π (\frac{9}{4} \cdot \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} - 12 x d x + \int_{0}^{1} 16 d x)$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 12 x d x + \int_{0}^{1} 16 d x)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$V = π (\frac{9}{4} \cdot \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 12 x d x + \int_{0}^{1} 16 d x)$

Etapa 6.2

Combine $\frac{9}{4}$ e $\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}$ .

$V = π (\frac{9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} + \int_{0}^{1} - 12 x d x + \int_{0}^{1} 16 d x)$

Etapa 7

Como $- 12$ é constante com relação a $x$ , mova $- 12$ para fora da integral.

$V = π (\frac{9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} - 12 \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} 16 d x)$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (\frac{9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} - 12 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 16 d x)$

Etapa 9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$V = π (\frac{9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} - 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 16 d x)$

Etapa 10

Aplique a regra da constante.

$V = π (\frac{9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} - 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 16 x]_{0}^{1})$

Etapa 11

Substitua e simplifique.

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Etapa 11.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $1$ e em $0$ .

$V = π (\frac{9 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})}{4} - 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 16 x]_{0}^{1})$

Etapa 11.2

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $1$ e em $0$ .

$V = π (\frac{9 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 x]_{0}^{1})$

Etapa 11.3

Avalie $16 x$ em $1$ e em $0$ .

$V = π (\frac{9 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Etapa 11.4

Simplifique.

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Etapa 11.4.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$V = π (\frac{9 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Etapa 11.4.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$V = π (\frac{9 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Etapa 11.4.3

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

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Etapa 11.4.3.1

Fatore $3$ de $0$ .

$V = π (\frac{9 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Etapa 11.4.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.4.3.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$V = π (\frac{9 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Etapa 11.4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$V = π (\frac{9 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Etapa 11.4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$V = π (\frac{9 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Etapa 11.4.3.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$V = π (\frac{9 (\frac{1}{3} - 0)}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Etapa 11.4.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$V = π (\frac{9 (\frac{1}{3} + 0)}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Etapa 11.4.5

Some $\frac{1}{3}$ e $0$ .

$V = π (\frac{9 (\frac{1}{3})}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Etapa 11.4.6

Combine $9$ e $\frac{1}{3}$ .

$V = π (\frac{\frac{9}{3}}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Etapa 11.4.7

Cancele o fator comum de $9$ e $3$ .

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Etapa 11.4.7.1

Fatore $3$ de $9$ .

$V = π (\frac{\frac{3 \cdot 3}{3}}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Etapa 11.4.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.4.7.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$V = π (\frac{\frac{3 \cdot 3}{3 (1)}}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Etapa 11.4.7.2.2

Cancele o fator comum.

$V = π (\frac{\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1}}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Etapa 11.4.7.2.3

Reescreva a expressão.

$V = π (\frac{\frac{3}{1}}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Etapa 11.4.7.2.4

Divida $3$ por $1$ .

$V = π (\frac{3}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Etapa 11.4.8

Um elevado a qualquer potência é um.

$V = π (\frac{3}{4} - 12 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Etapa 11.4.9

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$V = π (\frac{3}{4} - 12 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Etapa 11.4.10

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

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Etapa 11.4.10.1

Fatore $2$ de $0$ .

$V = π (\frac{3}{4} - 12 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Etapa 11.4.10.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.4.10.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$V = π (\frac{3}{4} - 12 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Etapa 11.4.10.2.2

Cancele o fator comum.

$V = π (\frac{3}{4} - 12 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Etapa 11.4.10.2.3

Reescreva a expressão.

$V = π (\frac{3}{4} - 12 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Etapa 11.4.10.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$V = π (\frac{3}{4} - 12 (\frac{1}{2} - 0) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Etapa 11.4.11

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$V = π (\frac{3}{4} - 12 (\frac{1}{2} + 0) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Etapa 11.4.12

Some $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$V = π (\frac{3}{4} - 12 (\frac{1}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Etapa 11.4.13

Combine $- 12$ e $\frac{1}{2}$ .

$V = π (\frac{3}{4} + \frac{- 12}{2} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Etapa 11.4.14

Cancele o fator comum de $- 12$ e $2$ .

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Etapa 11.4.14.1

Fatore $2$ de $- 12$ .

$V = π (\frac{3}{4} + \frac{2 \cdot - 6}{2} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Etapa 11.4.14.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.4.14.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$V = π (\frac{3}{4} + \frac{2 \cdot - 6}{2 (1)} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Etapa 11.4.14.2.2

Cancele o fator comum.

$V = π (\frac{3}{4} + \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Etapa 11.4.14.2.3

Reescreva a expressão.

$V = π (\frac{3}{4} + \frac{- 6}{1} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Etapa 11.4.14.2.4

Divida $- 6$ por $1$ .

$V = π (\frac{3}{4} - 6 + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Etapa 11.4.15

Para escrever $- 6$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$V = π (\frac{3}{4} - 6 \cdot \frac{4}{4} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Etapa 11.4.16

Combine $- 6$ e $\frac{4}{4}$ .

$V = π (\frac{3}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Etapa 11.4.17

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = π (\frac{3 - 6 \cdot 4}{4} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Etapa 11.4.18

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.4.18.1

Multiplique $- 6$ por $4$ .

$V = π (\frac{3 - 24}{4} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Etapa 11.4.18.2

Subtraia $24$ de $3$ .

$V = π (\frac{- 21}{4} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Etapa 11.4.19

Mova o número negativo para a frente da fração.

$V = π (- \frac{21}{4} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Etapa 11.4.20

Multiplique $16$ por $1$ .

$V = π (- \frac{21}{4} + 16 - 16 \cdot 0)$

Etapa 11.4.21

Multiplique $- 16$ por $0$ .

$V = π (- \frac{21}{4} + 16 + 0)$

Etapa 11.4.22

Some $16$ e $0$ .

$V = π (- \frac{21}{4} + 16)$

Etapa 11.4.23

Para escrever $16$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$V = π (- \frac{21}{4} + 16 \cdot \frac{4}{4})$

Etapa 11.4.24

Combine $16$ e $\frac{4}{4}$ .

$V = π (- \frac{21}{4} + \frac{16 \cdot 4}{4})$

Etapa 11.4.25

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = π (\frac{- 21 + 16 \cdot 4}{4})$

Etapa 11.4.26

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.4.26.1

Multiplique $16$ por $4$ .

$V = π (\frac{- 21 + 64}{4})$

Etapa 11.4.26.2

Some $- 21$ e $64$ .

$V = π (\frac{43}{4})$

Etapa 11.4.27

Combine $π$ e $\frac{43}{4}$ .

$V = \frac{π \cdot 43}{4}$

Etapa 11.4.28

Mova $43$ para a esquerda de $π$ .

$V = \frac{43 π}{4}$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$V = \frac{43 π}{4}$

Forma decimal:

$V = 33.77212102 \dots$

Etapa 13