Cálculo Exemplos

$y = 2 - \frac{1}{2} x$ , $y = 0$ , $x = 0$ , $x = 1$

Etapa 1

Para encontrar o volume do sólido, primeiro defina a área de cada parte e, depois, integre em todo o intervalo. A área de cada parte é a área de um círculo com o raio $f (x)$ e $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} d x$ em que $f (x) = - \frac{x}{2} + 2$

Etapa 2

Simplifique o integrando.

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Etapa 2.1

Reescreva ${(- \frac{x}{2} + 2)}^{2}$ como $(- \frac{x}{2} + 2) (- \frac{x}{2} + 2)$ .

$V = (- \frac{x}{2} + 2) (- \frac{x}{2} + 2)$

Etapa 2.2

Expanda $(- \frac{x}{2} + 2) (- \frac{x}{2} + 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$V = - \frac{x}{2} \cdot (- \frac{x}{2} + 2) + 2 (- \frac{x}{2} + 2)$

Etapa 2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$V = - \frac{x}{2} \cdot (- \frac{x}{2}) - \frac{x}{2} \cdot 2 + 2 (- \frac{x}{2} + 2)$

Etapa 2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$V = - \frac{x}{2} \cdot (- \frac{x}{2}) - \frac{x}{2} \cdot 2 + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 \cdot 2$

Etapa 2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1

Multiplique $- \frac{x}{2} (- \frac{x}{2})$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$V = 1 (\frac{x}{2}) \cdot \frac{x}{2} - \frac{x}{2} \cdot 2 + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 \cdot 2$

Etapa 2.3.1.1.2

Multiplique $\frac{x}{2}$ por $1$ .

$V = \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} - \frac{x}{2} \cdot 2 + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 \cdot 2$

Etapa 2.3.1.1.3

Multiplique $\frac{x}{2}$ por $\frac{x}{2}$ .

$V = \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot 2 + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 \cdot 2$

Etapa 2.3.1.1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$V = \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot 2 + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 \cdot 2$

Etapa 2.3.1.1.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$V = \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot 2 + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 \cdot 2$

Etapa 2.3.1.1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$V = \frac{x^{1 + 1}}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot 2 + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 \cdot 2$

Etapa 2.3.1.1.7

Some $1$ e $1$ .

$V = \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot 2 + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 \cdot 2$

Etapa 2.3.1.1.8

Multiplique $2$ por $2$ .

$V = \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} \cdot 2 + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 \cdot 2$

Etapa 2.3.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x}{2}$ para o numerador.

$V = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- x}{2} \cdot 2 + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 \cdot 2$

Etapa 2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$V = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- x}{2} \cdot 2 + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 \cdot 2$

Etapa 2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$V = \frac{x^{2}}{4} - x + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 \cdot 2$

Etapa 2.3.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.1.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x}{2}$ para o numerador.

$V = \frac{x^{2}}{4} - x + 2 (\frac{- x}{2}) + 2 \cdot 2$

Etapa 2.3.1.3.2

Cancele o fator comum.

$V = \frac{x^{2}}{4} - x + 2 (\frac{- x}{2}) + 2 \cdot 2$

Etapa 2.3.1.3.3

Reescreva a expressão.

$V = \frac{x^{2}}{4} - x - x + 2 \cdot 2$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$V = \frac{x^{2}}{4} - x - x + 4$

Etapa 2.3.2

Subtraia $x$ de $- x$ .

$V = \frac{x^{2}}{4} - 2 x + 4$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$V = π (\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{4} d x + \int_{0}^{1} - 2 x d x + \int_{0}^{1} 4 d x)$

Etapa 4

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$V = π (\frac{1}{4} \cdot \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} - 2 x d x + \int_{0}^{1} 4 d x)$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 2 x d x + \int_{0}^{1} 4 d x)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$V = π (\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 2 x d x + \int_{0}^{1} 4 d x)$

Etapa 6.2

Combine $\frac{1}{4}$ e $\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}$ .

$V = π (\frac{\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}}{4} + \int_{0}^{1} - 2 x d x + \int_{0}^{1} 4 d x)$

Etapa 7

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$V = π (\frac{\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}}{4} - 2 \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} 4 d x)$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (\frac{\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}}{4} - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 4 d x)$

Etapa 9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$V = π (\frac{\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}}{4} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 4 d x)$

Etapa 10

Aplique a regra da constante.

$V = π (\frac{\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}}{4} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 4 x]_{0}^{1})$

Etapa 11

Substitua e simplifique.

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Etapa 11.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $1$ e em $0$ .

$V = π (\frac{(\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}}{4} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 4 x]_{0}^{1})$

Etapa 11.2

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $1$ e em $0$ .

$V = π (\frac{(\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}}{4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 x]_{0}^{1})$

Etapa 11.3

Avalie $4 x$ em $1$ e em $0$ .

$V = π (\frac{(\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}}{4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Etapa 11.4

Simplifique.

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Etapa 11.4.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$V = π (\frac{\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}}{4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Etapa 11.4.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$V = π (\frac{\frac{1}{3} - \frac{0}{3}}{4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Etapa 11.4.3

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

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Etapa 11.4.3.1

Fatore $3$ de $0$ .

$V = π (\frac{\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}}{4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Etapa 11.4.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.4.3.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$V = π (\frac{\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}}{4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Etapa 11.4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$V = π (\frac{\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}}{4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Etapa 11.4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$V = π (\frac{\frac{1}{3} - \frac{0}{1}}{4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Etapa 11.4.3.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$V = π (\frac{\frac{1}{3} - 0}{4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Etapa 11.4.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$V = π (\frac{\frac{1}{3} + 0}{4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Etapa 11.4.5

Some $\frac{1}{3}$ e $0$ .

$V = π (\frac{\frac{1}{3}}{4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Etapa 11.4.6

Reescreva $\frac{\frac{1}{3}}{4}$ como um produto.

$V = π (\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Etapa 11.4.7

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{4}$ .

$V = π (\frac{1}{3 \cdot 4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Etapa 11.4.8

Multiplique $3$ por $4$ .

$V = π (\frac{1}{12} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Etapa 11.4.9

Um elevado a qualquer potência é um.

$V = π (\frac{1}{12} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Etapa 11.4.10

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$V = π (\frac{1}{12} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Etapa 11.4.11

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

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Etapa 11.4.11.1

Fatore $2$ de $0$ .

$V = π (\frac{1}{12} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Etapa 11.4.11.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.4.11.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$V = π (\frac{1}{12} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Etapa 11.4.11.2.2

Cancele o fator comum.

$V = π (\frac{1}{12} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Etapa 11.4.11.2.3

Reescreva a expressão.

$V = π (\frac{1}{12} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Etapa 11.4.11.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$V = π (\frac{1}{12} - 2 (\frac{1}{2} - 0) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Etapa 11.4.12

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$V = π (\frac{1}{12} - 2 (\frac{1}{2} + 0) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Etapa 11.4.13

Some $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$V = π (\frac{1}{12} - 2 (\frac{1}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Etapa 11.4.14

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$V = π (\frac{1}{12} + \frac{- 2}{2} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Etapa 11.4.15

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 11.4.15.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$V = π (\frac{1}{12} + \frac{2 \cdot - 1}{2} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Etapa 11.4.15.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.4.15.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$V = π (\frac{1}{12} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Etapa 11.4.15.2.2

Cancele o fator comum.

$V = π (\frac{1}{12} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Etapa 11.4.15.2.3

Reescreva a expressão.

$V = π (\frac{1}{12} + \frac{- 1}{1} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Etapa 11.4.15.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$V = π (\frac{1}{12} - 1 + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Etapa 11.4.16

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{12}{12}$ .

$V = π (\frac{1}{12} - 1 \cdot \frac{12}{12} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Etapa 11.4.17

Combine $- 1$ e $\frac{12}{12}$ .

$V = π (\frac{1}{12} + \frac{- 1 \cdot 12}{12} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Etapa 11.4.18

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = π (\frac{1 - 1 \cdot 12}{12} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Etapa 11.4.19

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.4.19.1

Multiplique $- 1$ por $12$ .

$V = π (\frac{1 - 12}{12} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Etapa 11.4.19.2

Subtraia $12$ de $1$ .

$V = π (\frac{- 11}{12} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Etapa 11.4.20

Mova o número negativo para a frente da fração.

$V = π (- \frac{11}{12} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Etapa 11.4.21

Multiplique $4$ por $1$ .

$V = π (- \frac{11}{12} + 4 - 4 \cdot 0)$

Etapa 11.4.22

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$V = π (- \frac{11}{12} + 4 + 0)$

Etapa 11.4.23

Some $4$ e $0$ .

$V = π (- \frac{11}{12} + 4)$

Etapa 11.4.24

Para escrever $4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{12}{12}$ .

$V = π (- \frac{11}{12} + 4 \cdot \frac{12}{12})$

Etapa 11.4.25

Combine $4$ e $\frac{12}{12}$ .

$V = π (- \frac{11}{12} + \frac{4 \cdot 12}{12})$

Etapa 11.4.26

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = π (\frac{- 11 + 4 \cdot 12}{12})$

Etapa 11.4.27

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.4.27.1

Multiplique $4$ por $12$ .

$V = π (\frac{- 11 + 48}{12})$

Etapa 11.4.27.2

Some $- 11$ e $48$ .

$V = π (\frac{37}{12})$

Etapa 11.4.28

Combine $π$ e $\frac{37}{12}$ .

$V = \frac{π \cdot 37}{12}$

Etapa 11.4.29

Mova $37$ para a esquerda de $π$ .

$V = \frac{37 π}{12}$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$V = \frac{37 π}{12}$

Forma decimal:

$V = 9.68657734 \dots$

Etapa 13