Cálculo Exemplos

$y = x + 1$ , $y = 0$ , $x = 0$ , $x = 7$

Etapa 1

Para encontrar o volume do sólido, primeiro defina a área de cada parte e, depois, integre em todo o intervalo. A área de cada parte é a área de um círculo com o raio $f (x)$ e $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{7} {(f (x))}^{2} d x$ em que $f (x) = x + 1$

Etapa 2

Simplifique o integrando.

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Etapa 2.1

Reescreva ${(x + 1)}^{2}$ como $(x + 1) (x + 1)$ .

$V = (x + 1) (x + 1)$

Etapa 2.2

Expanda $(x + 1) (x + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$V = x (x + 1) + 1 (x + 1)$

Etapa 2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$V = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)$

Etapa 2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$V = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Etapa 2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$V = x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$V = x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1$

Etapa 2.3.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$V = x^{2} + x + x + 1 \cdot 1$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $1$ por $1$ .

$V = x^{2} + x + x + 1$

Etapa 2.3.2

Some $x$ e $x$ .

$V = x^{2} + 2 x + 1$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$V = π (\int_{0}^{7} x^{2} d x + \int_{0}^{7} 2 x d x + \int_{0}^{7} d x)$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{7} + \int_{0}^{7} 2 x d x + \int_{0}^{7} d x)$

Etapa 5

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7} + \int_{0}^{7} 2 x d x + \int_{0}^{7} d x)$

Etapa 6

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7} + 2 \int_{0}^{7} x d x + \int_{0}^{7} d x)$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} d x)$

Etapa 8

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} d x)$

Etapa 9

Aplique a regra da constante.

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{7}) + x]_{0}^{7})$

Etapa 10

Simplifique a resposta.

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Etapa 10.1

Combine $\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7}$ e $x]_{0}^{7}$ .

$V = π (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{7}) + \frac{x^{3}}{3} + x]_{0}^{7})$

Etapa 10.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 10.2.1

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $7$ e em $0$ .

$V = π (2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{x^{3}}{3} + x]_{0}^{7})$

Etapa 10.2.2

Avalie $\frac{x^{3}}{3} + x$ em $7$ e em $0$ .

$V = π (2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Etapa 10.2.3

Simplifique.

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Etapa 10.2.3.1

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Etapa 10.2.3.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{0}{2}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Etapa 10.2.3.3

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

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Etapa 10.2.3.3.1

Fatore $2$ de $0$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Etapa 10.2.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.2.3.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Etapa 10.2.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Etapa 10.2.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{0}{1}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Etapa 10.2.3.3.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2} - 0) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Etapa 10.2.3.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2} + 0) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Etapa 10.2.3.5

Some $\frac{49}{2}$ e $0$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Etapa 10.2.3.6

Combine $2$ e $\frac{49}{2}$ .

$V = π (\frac{2 \cdot 49}{2} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Etapa 10.2.3.7

Multiplique $2$ por $49$ .

$V = π (\frac{98}{2} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Etapa 10.2.3.8

Cancele o fator comum de $98$ e $2$ .

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Etapa 10.2.3.8.1

Fatore $2$ de $98$ .

$V = π (\frac{2 \cdot 49}{2} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Etapa 10.2.3.8.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.2.3.8.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$V = π (\frac{2 \cdot 49}{2 (1)} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Etapa 10.2.3.8.2.2

Cancele o fator comum.

$V = π (\frac{2 \cdot 49}{2 \cdot 1} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Etapa 10.2.3.8.2.3

Reescreva a expressão.

$V = π (\frac{49}{1} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Etapa 10.2.3.8.2.4

Divida $49$ por $1$ .

$V = π (49 + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Etapa 10.2.3.9

Eleve $7$ à potência de $3$ .

$V = π (49 + \frac{343}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Etapa 10.2.3.10

Para escrever $7$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$V = π (49 + \frac{343}{3} + 7 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Etapa 10.2.3.11

Combine $7$ e $\frac{3}{3}$ .

$V = π (49 + \frac{343}{3} + \frac{7 \cdot 3}{3} - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Etapa 10.2.3.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = π (49 + \frac{343 + 7 \cdot 3}{3} - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Etapa 10.2.3.13

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.2.3.13.1

Multiplique $7$ por $3$ .

$V = π (49 + \frac{343 + 21}{3} - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Etapa 10.2.3.13.2

Some $343$ e $21$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Etapa 10.2.3.14

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{0}{3} + 0))$

Etapa 10.2.3.15

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.3.15.1

Fatore $3$ de $0$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{3 (0)}{3} + 0))$

Etapa 10.2.3.15.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.3.15.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} + 0))$

Etapa 10.2.3.15.2.2

Cancele o fator comum.

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} + 0))$

Etapa 10.2.3.15.2.3

Reescreva a expressão.

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{0}{1} + 0))$

Etapa 10.2.3.15.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (0 + 0))$

Etapa 10.2.3.16

Some $0$ e $0$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} - 0)$

Etapa 10.2.3.17

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} + 0)$

Etapa 10.2.3.18

Some $\frac{364}{3}$ e $0$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3})$

Etapa 10.2.3.19

Para escrever $49$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$V = π (49 \cdot \frac{3}{3} + \frac{364}{3})$

Etapa 10.2.3.20

Combine $49$ e $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{49 \cdot 3}{3} + \frac{364}{3})$

Etapa 10.2.3.21

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = π (\frac{49 \cdot 3 + 364}{3})$

Etapa 10.2.3.22

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.2.3.22.1

Multiplique $49$ por $3$ .

$V = π (\frac{147 + 364}{3})$

Etapa 10.2.3.22.2

Some $147$ e $364$ .

$V = π (\frac{511}{3})$

Etapa 10.2.3.23

Combine $π$ e $\frac{511}{3}$ .

$V = \frac{π \cdot 511}{3}$

Etapa 10.2.3.24

Mova $511$ para a esquerda de $π$ .

$V = \frac{511 π}{3}$

Etapa 11

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$V = \frac{511 π}{3}$

Forma decimal:

$V = 535.11794866 \dots$

Etapa 12