Cálculo Exemplos

$y = 9 - 9 x^{2}$ , $y = 0$

Etapa 1

Para encontrar o volume do sólido, primeiro defina a área de cada parte e, depois, integre em todo o intervalo. A área de cada parte é a área de um círculo com o raio $f (x)$ e $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{- 1}^{1} {(f (x))}^{2} d x$ em que $f (x) = - 9 x^{2} + 9$

Etapa 2

Simplifique o integrando.

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Etapa 2.1

Reescreva ${(- 9 x^{2} + 9)}^{2}$ como $(- 9 x^{2} + 9) (- 9 x^{2} + 9)$ .

$V = (- 9 x^{2} + 9) (- 9 x^{2} + 9)$

Etapa 2.2

Expanda $(- 9 x^{2} + 9) (- 9 x^{2} + 9)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$V = - 9 x^{2} (- 9 x^{2} + 9) + 9 (- 9 x^{2} + 9)$

Etapa 2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$V = - 9 x^{2} (- 9 x^{2}) - 9 x^{2} \cdot 9 + 9 (- 9 x^{2} + 9)$

Etapa 2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$V = - 9 x^{2} (- 9 x^{2}) - 9 x^{2} \cdot 9 + 9 (- 9 x^{2}) + 9 \cdot 9$

Etapa 2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$V = - 9 \cdot (- 9 x^{2} x^{2}) - 9 x^{2} \cdot 9 + 9 (- 9 x^{2}) + 9 \cdot 9$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.1.2.1

Mova $x^{2}$ .

$V = - 9 \cdot (- 9 (x^{2} x^{2})) - 9 x^{2} \cdot 9 + 9 (- 9 x^{2}) + 9 \cdot 9$

Etapa 2.3.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$V = - 9 \cdot (- 9 x^{2 + 2}) - 9 x^{2} \cdot 9 + 9 (- 9 x^{2}) + 9 \cdot 9$

Etapa 2.3.1.2.3

Some $2$ e $2$ .

$V = - 9 \cdot (- 9 x^{4}) - 9 x^{2} \cdot 9 + 9 (- 9 x^{2}) + 9 \cdot 9$

Etapa 2.3.1.3

Multiplique $- 9$ por $- 9$ .

$V = 81 x^{4} - 9 x^{2} \cdot 9 + 9 (- 9 x^{2}) + 9 \cdot 9$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $9$ por $- 9$ .

$V = 81 x^{4} - 81 x^{2} + 9 (- 9 x^{2}) + 9 \cdot 9$

Etapa 2.3.1.5

Multiplique $- 9$ por $9$ .

$V = 81 x^{4} - 81 x^{2} - 81 x^{2} + 9 \cdot 9$

Etapa 2.3.1.6

Multiplique $9$ por $9$ .

$V = 81 x^{4} - 81 x^{2} - 81 x^{2} + 81$

Etapa 2.3.2

Subtraia $81 x^{2}$ de $- 81 x^{2}$ .

$V = 81 x^{4} - 162 x^{2} + 81$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$V = π (\int_{- 1}^{1} 81 x^{4} d x + \int_{- 1}^{1} - 162 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 81 d x)$

Etapa 4

Como $81$ é constante com relação a $x$ , mova $81$ para fora da integral.

$V = π (81 \int_{- 1}^{1} x^{4} d x + \int_{- 1}^{1} - 162 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 81 d x)$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (81 (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 162 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 81 d x)$

Etapa 6

Combine $\frac{1}{5}$ e $x^{5}$ .

$V = π (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 162 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 81 d x)$

Etapa 7

Como $- 162$ é constante com relação a $x$ , mova $- 162$ para fora da integral.

$V = π (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) - 162 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 81 d x)$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) - 162 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 81 d x)$

Etapa 9

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$V = π (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) - 162 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 81 d x)$

Etapa 10

Aplique a regra da constante.

$V = π (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) - 162 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + 81 x]_{- 1}^{1})$

Etapa 11

Substitua e simplifique.

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Etapa 11.1

Avalie $\frac{x^{5}}{5}$ em $1$ e em $- 1$ .

$V = π (81 ((\frac{1^{5}}{5}) - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - 162 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + 81 x]_{- 1}^{1})$

Etapa 11.2

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $1$ e em $- 1$ .

$V = π (81 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - 162 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 81 x]_{- 1}^{1})$

Etapa 11.3

Avalie $81 x$ em $1$ e em $- 1$ .

$V = π (81 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - 162 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Etapa 11.4

Simplifique.

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Etapa 11.4.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$V = π (81 (\frac{1}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - 162 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Etapa 11.4.2

Eleve $- 1$ à potência de $5$ .

$V = π (81 (\frac{1}{5} - \frac{- 1}{5}) - 162 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Etapa 11.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$V = π (81 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5}) - 162 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Etapa 11.4.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$V = π (81 (\frac{1}{5} + 1 (\frac{1}{5})) - 162 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Etapa 11.4.5

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $1$ .

$V = π (81 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5}) - 162 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Etapa 11.4.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = π (81 (\frac{1 + 1}{5}) - 162 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Etapa 11.4.7

Some $1$ e $1$ .

$V = π (81 (\frac{2}{5}) - 162 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Etapa 11.4.8

Combine $81$ e $\frac{2}{5}$ .

$V = π (\frac{81 \cdot 2}{5} - 162 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Etapa 11.4.9

Multiplique $81$ por $2$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 162 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Etapa 11.4.10

Um elevado a qualquer potência é um.

$V = π (\frac{162}{5} - 162 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Etapa 11.4.11

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 162 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}) + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Etapa 11.4.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$V = π (\frac{162}{5} - 162 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Etapa 11.4.13

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 162 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Etapa 11.4.14

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 162 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Etapa 11.4.15

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = π (\frac{162}{5} - 162 \frac{1 + 1}{3} + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Etapa 11.4.16

Some $1$ e $1$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 162 (\frac{2}{3}) + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Etapa 11.4.17

Combine $- 162$ e $\frac{2}{3}$ .

$V = π (\frac{162}{5} + \frac{- 162 \cdot 2}{3} + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Etapa 11.4.18

Multiplique $- 162$ por $2$ .

$V = π (\frac{162}{5} + \frac{- 324}{3} + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Etapa 11.4.19

Cancele o fator comum de $- 324$ e $3$ .

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Etapa 11.4.19.1

Fatore $3$ de $- 324$ .

$V = π (\frac{162}{5} + \frac{3 \cdot - 108}{3} + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Etapa 11.4.19.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.4.19.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$V = π (\frac{162}{5} + \frac{3 \cdot - 108}{3 (1)} + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Etapa 11.4.19.2.2

Cancele o fator comum.

$V = π (\frac{162}{5} + \frac{3 \cdot - 108}{3 \cdot 1} + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Etapa 11.4.19.2.3

Reescreva a expressão.

$V = π (\frac{162}{5} + \frac{- 108}{1} + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Etapa 11.4.19.2.4

Divida $- 108$ por $1$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 108 + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Etapa 11.4.20

Para escrever $- 108$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 108 \cdot \frac{5}{5} + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Etapa 11.4.21

Combine $- 108$ e $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{162}{5} + \frac{- 108 \cdot 5}{5} + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Etapa 11.4.22

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = π (\frac{162 - 108 \cdot 5}{5} + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Etapa 11.4.23

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.4.23.1

Multiplique $- 108$ por $5$ .

$V = π (\frac{162 - 540}{5} + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Etapa 11.4.23.2

Subtraia $540$ de $162$ .

$V = π (\frac{- 378}{5} + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Etapa 11.4.24

Mova o número negativo para a frente da fração.

$V = π (- \frac{378}{5} + 81 \cdot 1 - 81 \cdot - 1)$

Etapa 11.4.25

Multiplique $81$ por $1$ .

$V = π (- \frac{378}{5} + 81 - 81 \cdot - 1)$

Etapa 11.4.26

Multiplique $- 81$ por $- 1$ .

$V = π (- \frac{378}{5} + 81 + 81)$

Etapa 11.4.27

Some $81$ e $81$ .

$V = π (- \frac{378}{5} + 162)$

Etapa 11.4.28

Para escrever $162$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$V = π (- \frac{378}{5} + 162 \cdot \frac{5}{5})$

Etapa 11.4.29

Combine $162$ e $\frac{5}{5}$ .

$V = π (- \frac{378}{5} + \frac{162 \cdot 5}{5})$

Etapa 11.4.30

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = π (\frac{- 378 + 162 \cdot 5}{5})$

Etapa 11.4.31

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.4.31.1

Multiplique $162$ por $5$ .

$V = π (\frac{- 378 + 810}{5})$

Etapa 11.4.31.2

Some $- 378$ e $810$ .

$V = π (\frac{432}{5})$

Etapa 11.4.32

Combine $π$ e $\frac{432}{5}$ .

$V = \frac{π \cdot 432}{5}$

Etapa 11.4.33

Mova $432$ para a esquerda de $π$ .

$V = \frac{432 π}{5}$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$V = \frac{432 π}{5}$

Forma decimal:

$V = 271.43360527 \dots$

Etapa 13