Cálculo Exemplos

$y = 4 - \frac{1}{2} x$ , $y = 0$ , $x = 1$ , $x = 2$

Etapa 1

Para encontrar o volume do sólido, primeiro defina a área de cada parte e, depois, integre em todo o intervalo. A área de cada parte é a área de um círculo com o raio $f (x)$ e $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{1}^{2} {(f (x))}^{2} d x$ em que $f (x) = - \frac{x}{2} + 4$

Etapa 2

Simplifique o integrando.

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Etapa 2.1

Reescreva ${(- \frac{x}{2} + 4)}^{2}$ como $(- \frac{x}{2} + 4) (- \frac{x}{2} + 4)$ .

$V = (- \frac{x}{2} + 4) (- \frac{x}{2} + 4)$

Etapa 2.2

Expanda $(- \frac{x}{2} + 4) (- \frac{x}{2} + 4)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$V = - \frac{x}{2} \cdot (- \frac{x}{2} + 4) + 4 (- \frac{x}{2} + 4)$

Etapa 2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$V = - \frac{x}{2} \cdot (- \frac{x}{2}) - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2} + 4)$

Etapa 2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$V = - \frac{x}{2} \cdot (- \frac{x}{2}) - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1

Multiplique $- \frac{x}{2} (- \frac{x}{2})$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$V = 1 (\frac{x}{2}) \cdot \frac{x}{2} - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.1.2

Multiplique $\frac{x}{2}$ por $1$ .

$V = \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.1.3

Multiplique $\frac{x}{2}$ por $\frac{x}{2}$ .

$V = \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$V = \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.1.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$V = \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$V = \frac{x^{1 + 1}}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.1.7

Some $1$ e $1$ .

$V = \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.1.8

Multiplique $2$ por $2$ .

$V = \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x}{2}$ para o numerador.

$V = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.2.2

Fatore $2$ de $4$ .

$V = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- x}{2} \cdot (2 (2)) + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.2.3

Cancele o fator comum.

$V = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- x}{2} \cdot (2 \cdot 2) + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.2.4

Reescreva a expressão.

$V = \frac{x^{2}}{4} - x \cdot 2 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$V = \frac{x^{2}}{4} - 2 x + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.1.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x}{2}$ para o numerador.

$V = \frac{x^{2}}{4} - 2 x + 4 (\frac{- x}{2}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.4.2

Fatore $2$ de $4$ .

$V = \frac{x^{2}}{4} - 2 x + 2 (2) (\frac{- x}{2}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.4.3

Cancele o fator comum.

$V = \frac{x^{2}}{4} - 2 x + 2 \cdot (2 (\frac{- x}{2})) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.4.4

Reescreva a expressão.

$V = \frac{x^{2}}{4} - 2 x + 2 (- x) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$V = \frac{x^{2}}{4} - 2 x - 2 x + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.6

Multiplique $4$ por $4$ .

$V = \frac{x^{2}}{4} - 2 x - 2 x + 16$

Etapa 2.3.2

Subtraia $2 x$ de $- 2 x$ .

$V = \frac{x^{2}}{4} - 4 x + 16$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$V = π (\int_{1}^{2} \frac{x^{2}}{4} d x + \int_{1}^{2} - 4 x d x + \int_{1}^{2} 16 d x)$

Etapa 4

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$V = π (\frac{1}{4} \cdot \int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 4 x d x + \int_{1}^{2} 16 d x)$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - 4 x d x + \int_{1}^{2} 16 d x)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$V = π (\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - 4 x d x + \int_{1}^{2} 16 d x)$

Etapa 6.2

Combine $\frac{1}{4}$ e $\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}$ .

$V = π (\frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}}{4} + \int_{1}^{2} - 4 x d x + \int_{1}^{2} 16 d x)$

Etapa 7

Como $- 4$ é constante com relação a $x$ , mova $- 4$ para fora da integral.

$V = π (\frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}}{4} - 4 \int_{1}^{2} x d x + \int_{1}^{2} 16 d x)$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (\frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}}{4} - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 16 d x)$

Etapa 9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$V = π (\frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}}{4} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 16 d x)$

Etapa 10

Aplique a regra da constante.

$V = π (\frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}}{4} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) + 16 x]_{1}^{2})$

Etapa 11

Substitua e simplifique.

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Etapa 11.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $2$ e em $1$ .

$V = π (\frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{4} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) + 16 x]_{1}^{2})$

Etapa 11.2

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $2$ e em $1$ .

$V = π (\frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{4} - 4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 16 x]_{1}^{2})$

Etapa 11.3

Avalie $16 x$ em $2$ e em $1$ .

$V = π (\frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{4} - 4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Etapa 11.4

Simplifique.

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Etapa 11.4.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$V = π (\frac{\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}}{4} - 4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Etapa 11.4.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$V = π (\frac{\frac{8}{3} - \frac{1}{3}}{4} - 4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Etapa 11.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = π (\frac{\frac{8 - 1}{3}}{4} - 4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Etapa 11.4.4

Subtraia $1$ de $8$ .

$V = π (\frac{\frac{7}{3}}{4} - 4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Etapa 11.4.5

Reescreva $\frac{\frac{7}{3}}{4}$ como um produto.

$V = π (\frac{7}{3} \cdot \frac{1}{4} - 4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Etapa 11.4.6

Multiplique $\frac{7}{3}$ por $\frac{1}{4}$ .

$V = π (\frac{7}{3 \cdot 4} - 4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Etapa 11.4.7

Multiplique $3$ por $4$ .

$V = π (\frac{7}{12} - 4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Etapa 11.4.8

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$V = π (\frac{7}{12} - 4 (\frac{4}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Etapa 11.4.9

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 11.4.9.1

Fatore $2$ de $4$ .

$V = π (\frac{7}{12} - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Etapa 11.4.9.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.4.9.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$V = π (\frac{7}{12} - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Etapa 11.4.9.2.2

Cancele o fator comum.

$V = π (\frac{7}{12} - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Etapa 11.4.9.2.3

Reescreva a expressão.

$V = π (\frac{7}{12} - 4 (\frac{2}{1} - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Etapa 11.4.9.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$V = π (\frac{7}{12} - 4 (2 - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Etapa 11.4.10

Um elevado a qualquer potência é um.

$V = π (\frac{7}{12} - 4 (2 - \frac{1}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Etapa 11.4.11

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{7}{12} - 4 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Etapa 11.4.12

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{7}{12} - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Etapa 11.4.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = π (\frac{7}{12} - 4 \frac{2 \cdot 2 - 1}{2} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Etapa 11.4.14

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.4.14.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$V = π (\frac{7}{12} - 4 \frac{4 - 1}{2} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Etapa 11.4.14.2

Subtraia $1$ de $4$ .

$V = π (\frac{7}{12} - 4 (\frac{3}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Etapa 11.4.15

Combine $- 4$ e $\frac{3}{2}$ .

$V = π (\frac{7}{12} + \frac{- 4 \cdot 3}{2} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Etapa 11.4.16

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$V = π (\frac{7}{12} + \frac{- 12}{2} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Etapa 11.4.17

Cancele o fator comum de $- 12$ e $2$ .

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Etapa 11.4.17.1

Fatore $2$ de $- 12$ .

$V = π (\frac{7}{12} + \frac{2 \cdot - 6}{2} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Etapa 11.4.17.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.4.17.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$V = π (\frac{7}{12} + \frac{2 \cdot - 6}{2 (1)} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Etapa 11.4.17.2.2

Cancele o fator comum.

$V = π (\frac{7}{12} + \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Etapa 11.4.17.2.3

Reescreva a expressão.

$V = π (\frac{7}{12} + \frac{- 6}{1} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Etapa 11.4.17.2.4

Divida $- 6$ por $1$ .

$V = π (\frac{7}{12} - 6 + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Etapa 11.4.18

Para escrever $- 6$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{12}{12}$ .

$V = π (\frac{7}{12} - 6 \cdot \frac{12}{12} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Etapa 11.4.19

Combine $- 6$ e $\frac{12}{12}$ .

$V = π (\frac{7}{12} + \frac{- 6 \cdot 12}{12} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Etapa 11.4.20

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = π (\frac{7 - 6 \cdot 12}{12} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Etapa 11.4.21

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.4.21.1

Multiplique $- 6$ por $12$ .

$V = π (\frac{7 - 72}{12} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Etapa 11.4.21.2

Subtraia $72$ de $7$ .

$V = π (\frac{- 65}{12} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Etapa 11.4.22

Mova o número negativo para a frente da fração.

$V = π (- \frac{65}{12} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Etapa 11.4.23

Multiplique $16$ por $2$ .

$V = π (- \frac{65}{12} + 32 - 16 \cdot 1)$

Etapa 11.4.24

Multiplique $- 16$ por $1$ .

$V = π (- \frac{65}{12} + 32 - 16)$

Etapa 11.4.25

Subtraia $16$ de $32$ .

$V = π (- \frac{65}{12} + 16)$

Etapa 11.4.26

Para escrever $16$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{12}{12}$ .

$V = π (- \frac{65}{12} + 16 \cdot \frac{12}{12})$

Etapa 11.4.27

Combine $16$ e $\frac{12}{12}$ .

$V = π (- \frac{65}{12} + \frac{16 \cdot 12}{12})$

Etapa 11.4.28

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = π (\frac{- 65 + 16 \cdot 12}{12})$

Etapa 11.4.29

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.4.29.1

Multiplique $16$ por $12$ .

$V = π (\frac{- 65 + 192}{12})$

Etapa 11.4.29.2

Some $- 65$ e $192$ .

$V = π (\frac{127}{12})$

Etapa 11.4.30

Combine $π$ e $\frac{127}{12}$ .

$V = \frac{π \cdot 127}{12}$

Etapa 11.4.31

Mova $127$ para a esquerda de $π$ .

$V = \frac{127 π}{12}$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$V = \frac{127 π}{12}$

Forma decimal:

$V = 33.24852225 \dots$

Etapa 13