Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x^{2} - 36 \ln (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} - 36 \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 \ln (x)]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 \ln (x)]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36 \ln (x)]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 36 \ln (x)]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 36 \ln (x)]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 36 \ln (x)$ em relação a $x$ é $- 36 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 x - 36 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 1.1.3.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$4 x - 36 \frac{1}{x}$

Etapa 1.1.3.3

Combine $- 36$ e $\frac{1}{x}$ .

$4 x + \frac{- 36}{x}$

Etapa 1.1.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = 4 x - \frac{36}{x}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x - \frac{36}{x}$ .

$4 x - \frac{36}{x}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x - \frac{36}{x} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x - \frac{36}{x} = 0$

Etapa 2.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, x, 1$

Etapa 2.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x$

Etapa 2.3

Multiplique cada termo em $4 x - \frac{36}{x} = 0$ por $x$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.3.1

Multiplique cada termo em $4 x - \frac{36}{x} = 0$ por $x$ .

$4 x \cdot x - \frac{36}{x} x = 0 x$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.2.1.1.1

Mova $x$ .

$4 (x \cdot x) - \frac{36}{x} x = 0 x$

Etapa 2.3.2.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$4 x^{2} - \frac{36}{x} x = 0 x$

Etapa 2.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.3.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{36}{x}$ para o numerador.

$4 x^{2} + \frac{- 36}{x} x = 0 x$

Etapa 2.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$4 x^{2} + \frac{- 36}{x} x = 0 x$

Etapa 2.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$4 x^{2} - 36 = 0 x$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.1

Multiplique $0$ por $x$ .

$4 x^{2} - 36 = 0$

Etapa 2.4

Resolva a equação.

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Etapa 2.4.1

Some $36$ aos dois lados da equação.

$4 x^{2} = 36$

Etapa 2.4.2

Divida cada termo em $4 x^{2} = 36$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 2.4.2.1

Divida cada termo em $4 x^{2} = 36$ por $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{36}{4}$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{36}{4}$

Etapa 2.4.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{36}{4}$

Etapa 2.4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.2.3.1

Divida $36$ por $4$ .

$x^{2} = 9$

Etapa 2.4.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{9}$

Etapa 2.4.4

Simplifique $\pm \sqrt{9}$ .

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Etapa 2.4.4.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Etapa 2.4.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 3$

Etapa 2.4.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.4.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 3$

Etapa 2.4.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 3$

Etapa 2.4.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 3, - 3$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $3, - 3$ .

$3, - 3$

Etapa 4

Defina o denominador em $\frac{36}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Etapa 6

Exclua os intervalos que não estão no domínio.

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 3, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{3}{2}$ na expressão.

$f' (- \frac{3}{2}) = 4 (- \frac{3}{2}) - \frac{36}{- \frac{3}{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3}{2}$ para o numerador.

$f' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{- 3}{2}) - \frac{36}{- \frac{3}{2}}$

Etapa 7.2.1.1.2

Fatore $2$ de $4$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 2 (2) (\frac{- 3}{2}) - \frac{36}{- \frac{3}{2}}$

Etapa 7.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$f' (- \frac{3}{2}) = 2 \cdot (2 (\frac{- 3}{2})) - \frac{36}{- \frac{3}{2}}$

Etapa 7.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$f' (- \frac{3}{2}) = 2 \cdot - 3 - \frac{36}{- \frac{3}{2}}$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 6 - \frac{36}{- \frac{3}{2}}$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f' (- \frac{3}{2}) = - 6 - (36 (- \frac{2}{3}))$

Etapa 7.2.1.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 7.2.1.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2}{3}$ para o numerador.

$f' (- \frac{3}{2}) = - 6 - (36 (\frac{- 2}{3}))$

Etapa 7.2.1.4.2

Fatore $3$ de $36$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 6 - (3 (12) (\frac{- 2}{3}))$

Etapa 7.2.1.4.3

Cancele o fator comum.

$f' (- \frac{3}{2}) = - 6 - (3 \cdot (12 (\frac{- 2}{3})))$

Etapa 7.2.1.4.4

Reescreva a expressão.

$f' (- \frac{3}{2}) = - 6 - (12 \cdot - 2)$

Etapa 7.2.1.5

Multiplique $12$ por $- 2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 6 + 24$

Etapa 7.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 24$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 6 + 24$

Etapa 7.2.2

Some $- 6$ e $24$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 18$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $18$ .

$18$

Etapa 8

Exclua os intervalos que não estão no domínio.

$(0, 3)$

Etapa 9

Substitua um valor do intervalo $(0, 3)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{3}{2}$ na expressão.

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{3}{2}) - \frac{36}{\frac{3}{2}}$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 9.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 2 (2) (\frac{3}{2}) - \frac{36}{\frac{3}{2}}$

Etapa 9.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$f' (\frac{3}{2}) = 2 \cdot (2 (\frac{3}{2})) - \frac{36}{\frac{3}{2}}$

Etapa 9.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$f' (\frac{3}{2}) = 2 \cdot 3 - \frac{36}{\frac{3}{2}}$

Etapa 9.2.1.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 6 - \frac{36}{\frac{3}{2}}$

Etapa 9.2.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f' (\frac{3}{2}) = 6 - (36 (\frac{2}{3}))$

Etapa 9.2.1.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 9.2.1.4.1

Fatore $3$ de $36$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 6 - (3 (12) (\frac{2}{3}))$

Etapa 9.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$f' (\frac{3}{2}) = 6 - (3 \cdot (12 (\frac{2}{3})))$

Etapa 9.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$f' (\frac{3}{2}) = 6 - (12 \cdot 2)$

Etapa 9.2.1.5

Multiplique $12$ por $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 6 - 1 \cdot 24$

Etapa 9.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $24$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 6 - 24$

Etapa 9.2.2

Subtraia $24$ de $6$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - 18$

Etapa 9.2.3

A resposta final é $- 18$ .

$- 18$

Etapa 9.3

Em $x = \frac{3}{2}$ , a derivada é $- 18$ . Por ser negativa, a função diminui em $(0, 3)$ .

Decréscimo em $(0, 3)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 10

Exclua os intervalos que não estão no domínio.

$(0, 3), (3, \infty)$

Etapa 11

Substitua um valor do intervalo $(3, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f' (4) = 4 (4) - \frac{36}{4}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.1.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$f' (4) = 16 - \frac{36}{4}$

Etapa 11.2.1.2

Divida $36$ por $4$ .

$f' (4) = 16 - 1 \cdot 9$

Etapa 11.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$f' (4) = 16 - 9$

Etapa 11.2.2

Subtraia $9$ de $16$ .

$f' (4) = 7$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $7$ .

$7$

Etapa 11.3

Em $x = 4$ , a derivada é $7$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(3, \infty)$ .

Acréscimo em $(3, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 12

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(3, \infty)$

Decréscimo em: $(0, 3)$

Etapa 13