Cálculo Exemplos

$f (x) = (6 - x) e^{- x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 6 - x$ e $g (x) = e^{- x}$ .

$(6 - x) \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [6 - x]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x$ .

$(6 - x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [6 - x]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$(6 - x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [6 - x]$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$(6 - x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [6 - x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(6 - x) e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [6 - x]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(6 - x) e^{- x} (- 1 \cdot 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [6 - x]$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(6 - x) e^{- x} \cdot - 1 + e^{- x} \frac{d}{d x} [6 - x]$

Etapa 1.1.3.3.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $(6 - x) e^{- x}$ .

$- 1 \cdot ((6 - x) e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [6 - x]$

Etapa 1.1.3.3.3

Reescreva $- 1 (6 - x)$ como $- (6 - x)$ .

$- (6 - x) e^{- x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [6 - x]$

Etapa 1.1.3.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- (6 - x) e^{- x} + e^{- x} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 1.1.3.5

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$- (6 - x) e^{- x} + e^{- x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 1.1.3.6

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- (6 - x) e^{- x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.3.7

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (6 - x) e^{- x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- (6 - x) e^{- x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Etapa 1.1.3.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.3.9.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- (6 - x) e^{- x} + e^{- x} \cdot - 1$

Etapa 1.1.3.9.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$- (6 - x) e^{- x} - 1 \cdot e^{- x}$

Etapa 1.1.3.9.3

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$- (6 - x) e^{- x} - e^{- x}$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

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Etapa 1.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(- 1 \cdot 6 - - x) e^{- x} - e^{- x}$

Etapa 1.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 1 \cdot 6 e^{- x} - - x e^{- x} - e^{- x}$

Etapa 1.1.4.3

Combine os termos.

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Etapa 1.1.4.3.1

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$- 6 e^{- x} - - x e^{- x} - e^{- x}$

Etapa 1.1.4.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- 6 e^{- x} + 1 x e^{- x} - e^{- x}$

Etapa 1.1.4.3.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$- 6 e^{- x} + x e^{- x} - e^{- x}$

Etapa 1.1.4.3.4

Subtraia $e^{- x}$ de $- 6 e^{- x}$ .

$x e^{- x} - 7 e^{- x}$

Etapa 1.1.4.4

Reordene os termos.

$e^{- x} x - 7 e^{- x}$

Etapa 1.1.4.5

Reordene os fatores em $e^{- x} x - 7 e^{- x}$ .

$f' (x) = x e^{- x} - 7 e^{- x}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $x e^{- x} - 7 e^{- x}$ .

$x e^{- x} - 7 e^{- x}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $x e^{- x} - 7 e^{- x} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$x e^{- x} - 7 e^{- x} = 0$

Etapa 2.2

Fatore $e^{- x}$ de $x e^{- x} - 7 e^{- x}$ .

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Etapa 2.2.1

Fatore $e^{- x}$ de $x e^{- x}$ .

$e^{- x} x - 7 e^{- x} = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $e^{- x}$ de $- 7 e^{- x}$ .

$e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 7 = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $e^{- x}$ de $e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 7$ .

$e^{- x} (x - 7) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{- x} = 0$

$x - 7 = 0$

Etapa 2.4

Defina $e^{- x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $e^{- x}$ como igual a $0$ .

$e^{- x} = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $e^{- x} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Etapa 2.4.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 2.4.2.3

Não há uma solução para $e^{- x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 2.5

Defina $x - 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x - 7$ como igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Etapa 2.5.2

Some $7$ aos dois lados da equação.

$x = 7$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $e^{- x} (x - 7) = 0$ verdadeiro.

$x = 7$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $7$ .

$7$

Etapa 4

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = x e^{- x} - 7 e^{- x}$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = (6 - x) e^{- x}$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, 7) \cup (7, \infty)$ .

$(- \infty, 7) \cup (7, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 7)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f' (6) = (6) \cdot e^{- (6)} - 7 e^{- (6)}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$f' (6) = 6 \cdot e^{- 6} - 7 e^{- (6)}$

Etapa 5.2.1.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (6) = 6 \cdot \frac{1}{e^{6}} - 7 e^{- (6)}$

Etapa 5.2.1.3

Combine $6$ e $\frac{1}{e^{6}}$ .

$f' (6) = \frac{6}{e^{6}} - 7 e^{- (6)}$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$f' (6) = \frac{6}{e^{6}} - 7 e^{- 6}$

Etapa 5.2.1.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (6) = \frac{6}{e^{6}} - 7 \frac{1}{e^{6}}$

Etapa 5.2.1.6

Combine $- 7$ e $\frac{1}{e^{6}}$ .

$f' (6) = \frac{6}{e^{6}} + \frac{- 7}{e^{6}}$

Etapa 5.2.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (6) = \frac{6}{e^{6}} - \frac{7}{e^{6}}$

Etapa 5.2.2

Combine frações.

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Etapa 5.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (6) = \frac{6 - 7}{e^{6}}$

Etapa 5.2.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.2.2.2.1

Subtraia $7$ de $6$ .

$f' (6) = \frac{- 1}{e^{6}}$

Etapa 5.2.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (6) = - \frac{1}{e^{6}}$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- \frac{1}{e^{6}}$ .

$- \frac{1}{e^{6}}$

Etapa 5.3

Em $x = 6$ , a derivada é $- \frac{1}{e^{6}}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, 7)$ .

Decréscimo em $(- \infty, 7)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(7, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $8$ na expressão.

$f' (8) = (8) \cdot e^{- (8)} - 7 e^{- (8)}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$f' (8) = 8 \cdot e^{- 8} - 7 e^{- (8)}$

Etapa 6.2.1.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (8) = 8 \cdot \frac{1}{e^{8}} - 7 e^{- (8)}$

Etapa 6.2.1.3

Combine $8$ e $\frac{1}{e^{8}}$ .

$f' (8) = \frac{8}{e^{8}} - 7 e^{- (8)}$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$f' (8) = \frac{8}{e^{8}} - 7 e^{- 8}$

Etapa 6.2.1.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (8) = \frac{8}{e^{8}} - 7 \frac{1}{e^{8}}$

Etapa 6.2.1.6

Combine $- 7$ e $\frac{1}{e^{8}}$ .

$f' (8) = \frac{8}{e^{8}} + \frac{- 7}{e^{8}}$

Etapa 6.2.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (8) = \frac{8}{e^{8}} - \frac{7}{e^{8}}$

Etapa 6.2.2

Combine frações.

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Etapa 6.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (8) = \frac{8 - 7}{e^{8}}$

Etapa 6.2.2.2

Subtraia $7$ de $8$ .

$f' (8) = \frac{1}{e^{8}}$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $\frac{1}{e^{8}}$ .

$\frac{1}{e^{8}}$

Etapa 6.3

Em $x = 8$ , a derivada é $\frac{1}{e^{8}}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(7, \infty)$ .

Acréscimo em $(7, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(7, \infty)$

Decréscimo em: $(- \infty, 7)$

Etapa 8