Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{\ln (x^{2} + 1)}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 x}{lim_{x \to \infty} \ln (x^{2} + 1)}$

Etapa 1.2

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (x^{2} + 1)}$

Etapa 1.3

À medida que o logaritmo se aproxima do infinito, o valor chega a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{\ln (x^{2} + 1)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]}$

Etapa 3.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]}$

Etapa 3.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]}$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}$

Etapa 3.5.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}$

Etapa 3.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}$

Etapa 3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}$

Etapa 3.8

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0)}$

Etapa 3.9

Some $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x)}$

Etapa 3.10

Combine $2$ e $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{2}{x^{2} + 1} x}$

Etapa 3.11

Combine $\frac{2}{x^{2} + 1}$ e $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{2 x}{x^{2} + 1}}$

Etapa 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to \infty} 4 \frac{x^{2} + 1}{2 x}$

Etapa 5

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Combine $4$ e $\frac{x^{2} + 1}{2 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{2} + 1)}{2 x}$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $2$ de $4 (x^{2} + 1)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 (x^{2} + 1))}{2 x}$

Etapa 5.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 (x^{2} + 1))}{2 (x)}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 (x^{2} + 1))}{2 x}$

Etapa 5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x^{2} + 1)}{x}$

Etapa 6

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 (x^{2} + 1)}{lim_{x \to \infty} x}$

Etapa 6.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Simplifique multiplicando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{2} + 2 \cdot 1}{lim_{x \to \infty} x}$

Etapa 6.1.2.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{2} + 2}{lim_{x \to \infty} x}$

Etapa 6.1.2.2

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}$

Etapa 6.1.3

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 6.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 6.2

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x^{2} + 1)}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 (x^{2} + 1)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 6.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 (x^{2} + 1)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 6.3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 (x^{2} + 1)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 6.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 6.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 6.3.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + 0)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 6.3.6

Some $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 6.3.7

Multiplique $2$ por $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 6.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{1}$

Etapa 6.4

Divida $4 x$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} 4 x$

Etapa 7

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\infty$