Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} x^{3} \sin (\frac{1}{2 x^{3}})$

Etapa 1

Reescreva $x^{3} \sin (\frac{1}{2 x^{3}})$ como $\frac{\sin (\frac{1}{2 x^{3}})}{x^{- 3}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sin (\frac{1}{2 x^{3}})}{x^{- 3}}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} \sin (\frac{1}{2 x^{3}})}{lim_{x \to \infty} x^{- 3}}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 2.1.2.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{3}})}{lim_{x \to \infty} x^{- 3}}$

Etapa 2.1.2.1.2

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sin (\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}})}{lim_{x \to \infty} x^{- 3}}$

Etapa 2.1.2.2

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{3}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sin (\frac{1}{2} \cdot 0)}{lim_{x \to \infty} x^{- 3}}$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to \infty} x^{- 3}}$

Etapa 2.1.2.3.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \infty} x^{- 3}}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Etapa 2.1.3.2

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{3}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sin (\frac{1}{2 x^{3}})}{x^{- 3}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{2 x^{3}})]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{2 x^{3}})]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \frac{1}{2 x^{3}}$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{1}{2 x^{3}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{3}}]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Etapa 2.3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{3}}]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{1}{2 x^{3}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{3}}]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{2 x^{3}}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}])}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Etapa 2.3.4

Combine $\frac{1}{2}$ e $\cos (\frac{1}{2 x^{3}})$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Etapa 2.3.5

Reescreva $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Etapa 2.3.6

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2} \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Etapa 2.3.6.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Etapa 2.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2} (- 3 x^{- 4})}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Etapa 2.3.8

Combine $- 3$ e $\frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2} x^{- 4}}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Etapa 2.3.9

Combine $\frac{- 3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2}$ e $x^{- 4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}}) x^{- 4}}{2}}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Etapa 2.3.10

Mova $x^{- 4}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}}}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Etapa 2.3.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}}}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Etapa 2.3.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}}}{- 3 x^{- 4}}$

Etapa 2.3.13

Simplifique.

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Etapa 2.3.13.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}}}{- 3 \frac{1}{x^{4}}}$

Etapa 2.3.13.2

Combine $- 3$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}}}{\frac{- 3}{x^{4}}}$

Etapa 2.3.13.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}}}{- \frac{3}{x^{4}}}$

Etapa 2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to \infty} - \frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}} (- \frac{x^{4}}{3})$

Etapa 2.5

Combine os fatores.

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Etapa 2.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} 1 \frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}} \frac{x^{4}}{3}$

Etapa 2.5.2

Multiplique $\frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}}$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}} \cdot \frac{x^{4}}{3}$

Etapa 2.5.3

Multiplique $\frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}}$ por $\frac{x^{4}}{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}}) x^{4}}{2 x^{4} \cdot 3}$

Etapa 2.5.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}}) x^{4}}{6 x^{4}}$

Etapa 2.6

Reduza.

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Etapa 2.6.1

Cancele o fator comum de $3$ e $6$ .

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Etapa 2.6.1.1

Fatore $3$ de $3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}}) x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (\cos (\frac{1}{2 x^{3}}) x^{4})}{6 x^{4}}$

Etapa 2.6.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.6.1.2.1

Fatore $3$ de $6 x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (\cos (\frac{1}{2 x^{3}}) x^{4})}{3 (2 x^{4})}$

Etapa 2.6.1.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (\cos (\frac{1}{2 x^{3}}) x^{4})}{3 (2 x^{4})}$

Etapa 2.6.1.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}}) x^{4}}{2 x^{4}}$

Etapa 2.6.2

Cancele o fator comum de $x^{4}$ .

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Etapa 2.6.2.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}}) x^{4}}{2 x^{4}}$

Etapa 2.6.2.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \cos (\frac{1}{2 x^{3}})$

Etapa 3.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{2} \cos (lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{3}})$

Etapa 3.3

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cos (\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}})$

Etapa 4

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{3}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cos (\frac{1}{2} \cdot 0)$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cos (0)$

Etapa 5.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 5.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$