Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 (e^{x} - 1 - x)}{10 x^{3}}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} 3 (e^{x} - 1 - x)}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{3}}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 0^{+}} e^{x} - 1 - x}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{3}}$

Etapa 1.2.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{3 (lim_{x \to 0^{+}} e^{x} - lim_{x \to 0^{+}} 1 - lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{3}}$

Etapa 1.2.3

Mova o limite para o expoente.

$\frac{3 (e^{lim_{x \to 0^{+}} x} - lim_{x \to 0^{+}} 1 - lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{3}}$

Etapa 1.2.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{3 (e^{lim_{x \to 0^{+}} x} - 1 \cdot 1 - lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{3}}$

Etapa 1.2.5

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{3 (e^{0} - 1 \cdot 1 - lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{3}}$

Etapa 1.2.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{3 (e^{0} - 1 \cdot 1 + 0)}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{3}}$

Etapa 1.2.6

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{3 (1 - 1 \cdot 1 + 0)}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{3}}$

Etapa 1.2.6.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{3 (1 - 1 + 0)}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{3}}$

Etapa 1.2.6.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{3 (0 + 0)}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{3}}$

Etapa 1.2.6.3

Some $0$ e $0$ .

$\frac{3 \cdot 0}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{3}}$

Etapa 1.2.6.4

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{3}}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Mova o termo $10$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{10 lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

Etapa 1.3.1.2

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{10 {(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{3}}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{10 \cdot 0^{3}}$

Etapa 1.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{10 \cdot 0}$

Etapa 1.3.3.2

Multiplique $10$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 (e^{x} - 1 - x)}{10 x^{3}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [3 (e^{x} - 1 - x)]}{\frac{d}{d x} [10 x^{3}]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [3 (e^{x} - 1 - x)]}{\frac{d}{d x} [10 x^{3}]}$

Etapa 3.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 (e^{x} - 1 - x)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [e^{x} - 1 - x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{x} - 1 - x]}{\frac{d}{d x} [10 x^{3}]}$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} - 1 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [10 x^{3}]}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 (e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [10 x^{3}]}$

Etapa 3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 (e^{x} + 0 + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [10 x^{3}]}$

Etapa 3.6

Some $e^{x}$ e $0$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 (e^{x} + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [10 x^{3}]}$

Etapa 3.7

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 (e^{x} - \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [10 x^{3}]}$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 (e^{x} - 1 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [10 x^{3}]}$

Etapa 3.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 (e^{x} - 1)}{\frac{d}{d x} [10 x^{3}]}$

Etapa 3.10

Simplifique.

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Etapa 3.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 e^{x} + 3 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [10 x^{3}]}$

Etapa 3.10.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 e^{x} - 3}{\frac{d}{d x} [10 x^{3}]}$

Etapa 3.11

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 x^{3}$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 e^{x} - 3}{10 \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 e^{x} - 3}{10 (3 x^{2})}$

Etapa 3.13

Multiplique $3$ por $10$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 e^{x} - 3}{30 x^{2}}$

Etapa 4

Cancele o fator comum de $3 e^{x} - 3$ e $30$ .

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Etapa 4.1

Fatore $3$ de $3 e^{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 (e^{x}) - 3}{30 x^{2}}$

Etapa 4.2

Fatore $3$ de $- 3$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 (e^{x}) + 3 (- 1)}{30 x^{2}}$

Etapa 4.3

Fatore $3$ de $3 (e^{x}) + 3 (- 1)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 (e^{x} - 1)}{30 x^{2}}$

Etapa 4.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.4.1

Fatore $3$ de $30 x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 (e^{x} - 1)}{3 (10 x^{2})}$

Etapa 4.4.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 (e^{x} - 1)}{3 (10 x^{2})}$

Etapa 4.4.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{e^{x} - 1}{10 x^{2}}$

Etapa 5

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} e^{x} - 1}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{2}}$

Etapa 5.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 5.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} e^{x} - lim_{x \to 0^{+}} 1}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{2}}$

Etapa 5.1.2.1.2

Mova o limite para o expoente.

$\frac{e^{lim_{x \to 0^{+}} x} - lim_{x \to 0^{+}} 1}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{2}}$

Etapa 5.1.2.1.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0^{+}} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{2}}$

Etapa 5.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{2}}$

Etapa 5.1.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.3.1.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{2}}$

Etapa 5.1.2.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{2}}$

Etapa 5.1.2.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{2}}$

Etapa 5.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1.1

Mova o termo $10$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{10 lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}$

Etapa 5.1.3.1.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{10 {(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{10 \cdot 0^{2}}$

Etapa 5.1.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{10 \cdot 0}$

Etapa 5.1.3.3.2

Multiplique $10$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 5.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 5.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 5.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 5.2

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{e^{x} - 1}{10 x^{2}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [10 x^{2}]}$

Etapa 5.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [10 x^{2}]}$

Etapa 5.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [10 x^{2}]}$

Etapa 5.3.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [10 x^{2}]}$

Etapa 5.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [10 x^{2}]}$

Etapa 5.3.5

Some $e^{x}$ e $0$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [10 x^{2}]}$

Etapa 5.3.6

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 x^{2}$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{e^{x}}{10 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 5.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{e^{x}}{10 (2 x)}$

Etapa 5.3.8

Multiplique $2$ por $10$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{e^{x}}{20 x}$

Etapa 6

Como o numerador é positivo e o denominador $20 x$ se aproxima de zero e é maior do que zero para $x$ próximo a $0$ à direita, a função aumenta sem limite.

$\infty$