Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 1} \frac{4 \sin (π x)}{\cos (π x) + x}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} 4 \sin (π x)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.2.1.1

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 1} \sin (π x)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Etapa 1.2.1.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{4 \sin (lim_{x \to 1} π x)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Etapa 1.2.1.3

Mova o termo $π$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 \sin (π lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Etapa 1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{4 \sin (π \cdot 1)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Etapa 1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.3.1

Multiplique $π$ por $1$ .

$\frac{4 \sin (π)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Etapa 1.2.3.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{4 \sin (0)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Etapa 1.2.3.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{4 \cdot 0}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Etapa 1.2.3.4

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + lim_{x \to 1} x}$

Etapa 1.3.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to 1} π x) + lim_{x \to 1} x}$

Etapa 1.3.3

Mova o termo $π$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{\cos (π lim_{x \to 1} x) + lim_{x \to 1} x}$

Etapa 1.3.4

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.3.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{0}{\cos (π \cdot 1) + lim_{x \to 1} x}$

Etapa 1.3.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{0}{\cos (π \cdot 1) + 1}$

Etapa 1.3.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.5.1.1

Multiplique $π$ por $1$ .

$\frac{0}{\cos (π) + 1}$

Etapa 1.3.5.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\frac{0}{- \cos (0) + 1}$

Etapa 1.3.5.1.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 1 + 1}$

Etapa 1.3.5.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{- 1 + 1}$

Etapa 1.3.5.2

Some $- 1$ e $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.5.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.6

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{4 \sin (π x)}{\cos (π x) + x} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 \sin (π x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 \sin (π x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Etapa 3.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 \sin (π x)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \frac{d}{d x} [\sin (π x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = π x$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x])}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Etapa 3.3.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [π x])}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x])}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Etapa 3.4

Remova os parênteses.

$lim_{x \to 1} \frac{4 \cos (π x) \frac{d}{d x} [π x]}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Etapa 3.5

Como $π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $π x$ em relação a $x$ é $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \cos (π x) (π \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Etapa 3.7

Multiplique $π$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \cos (π x) π}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Etapa 3.8

Reordene os fatores de $4 \cos (π x) π$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Etapa 3.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\cos (π x) + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\cos (π x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{\frac{d}{d x} [\cos (π x)] + \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.10

Avalie $\frac{d}{d x} [\cos (π x)]$ .

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Etapa 3.10.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = π x$ .

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Etapa 3.10.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.10.1.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- \sin (u) \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.10.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.10.2

Como $π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $π x$ em relação a $x$ é $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.10.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- \sin (π x) (π \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.10.4

Multiplique $π$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- \sin (π x) π + \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- \sin (π x) π + 1}$

Etapa 3.12

Reordene os termos.

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- π \sin (π x) + 1}$

Etapa 4

Mova o termo $4 π$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$4 π lim_{x \to 1} \frac{\cos (π x)}{- π \sin (π x) + 1}$

Etapa 5

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$4 π \frac{lim_{x \to 1} \cos (π x)}{lim_{x \to 1} - π \sin (π x) + 1}$

Etapa 6

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$4 π \frac{\cos (lim_{x \to 1} π x)}{lim_{x \to 1} - π \sin (π x) + 1}$

Etapa 7

Mova o termo $π$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$4 π \frac{\cos (π lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} - π \sin (π x) + 1}$

Etapa 8

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$4 π \frac{\cos (π lim_{x \to 1} x)}{- lim_{x \to 1} π \sin (π x) + lim_{x \to 1} 1}$

Etapa 9

Mova o termo $π$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$4 π \frac{\cos (π lim_{x \to 1} x)}{- π lim_{x \to 1} \sin (π x) + lim_{x \to 1} 1}$

Etapa 10

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$4 π \frac{\cos (π lim_{x \to 1} x)}{- π \sin (lim_{x \to 1} π x) + lim_{x \to 1} 1}$

Etapa 11

Mova o termo $π$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$4 π \frac{\cos (π lim_{x \to 1} x)}{- π \sin (π lim_{x \to 1} x) + lim_{x \to 1} 1}$

Etapa 12

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$4 π \frac{\cos (π lim_{x \to 1} x)}{- π \sin (π lim_{x \to 1} x) + 1}$

Etapa 13

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 13.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$4 π \frac{\cos (π \cdot 1)}{- π \sin (π lim_{x \to 1} x) + 1}$

Etapa 13.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$4 π \frac{\cos (π \cdot 1)}{- π \sin (π \cdot 1) + 1}$

Etapa 14

Simplifique a resposta.

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Etapa 14.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 14.1.1

Multiplique $π$ por $1$ .

$4 π \frac{\cos (π)}{- π \sin (π \cdot 1) + 1}$

Etapa 14.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$4 π \frac{- \cos (0)}{- π \sin (π \cdot 1) + 1}$

Etapa 14.1.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$4 π \frac{- 1 \cdot 1}{- π \sin (π \cdot 1) + 1}$

Etapa 14.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$4 π \frac{- 1}{- π \sin (π \cdot 1) + 1}$

Etapa 14.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 14.2.1

Multiplique $π$ por $1$ .

$4 π \frac{- 1}{- π \sin (π) + 1}$

Etapa 14.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$4 π \frac{- 1}{- π \sin (0) + 1}$

Etapa 14.2.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$4 π \frac{- 1}{- π \cdot 0 + 1}$

Etapa 14.2.4

Multiplique $- π \cdot 0$ .

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Etapa 14.2.4.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$4 π \frac{- 1}{0 π + 1}$

Etapa 14.2.4.2

Multiplique $0$ por $π$ .

$4 π \frac{- 1}{0 + 1}$

Etapa 14.2.5

Some $0$ e $1$ .

$4 π \frac{- 1}{1}$

Etapa 14.3

Divida $- 1$ por $1$ .

$4 π \cdot - 1$

Etapa 14.4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- 4 π$