Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 3} \frac{(9 - x^{2})}{\cos (\frac{π}{2} x)}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 3} 9 - x^{2}}{lim_{x \to 3} \cos (\frac{π}{2} x)}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} 9 - lim_{x \to 3} x^{2}}{lim_{x \to 3} \cos (\frac{π}{2} x)}$

Etapa 1.2.1.2

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{9 - lim_{x \to 3} x^{2}}{lim_{x \to 3} \cos (\frac{π}{2} x)}$

Etapa 1.2.1.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{9 - {(lim_{x \to 3} x)}^{2}}{lim_{x \to 3} \cos (\frac{π}{2} x)}$

Etapa 1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{9 - 3^{2}}{lim_{x \to 3} \cos (\frac{π}{2} x)}$

Etapa 1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.3.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{9 - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 3} \cos (\frac{π}{2} x)}$

Etapa 1.2.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$\frac{9 - 9}{lim_{x \to 3} \cos (\frac{π}{2} x)}$

Etapa 1.2.3.2

Subtraia $9$ de $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} \cos (\frac{π}{2} x)}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.3.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to 3} \frac{π}{2} x)}$

Etapa 1.3.1.2

Mova o termo $\frac{π}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{\cos (\frac{π}{2} lim_{x \to 3} x)}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{0}{\cos (\frac{π}{2} \cdot 3)}$

Etapa 1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.3.1

Combine $\frac{π}{2}$ e $3$ .

$\frac{0}{\cos (\frac{π \cdot 3}{2})}$

Etapa 1.3.3.2

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{0}{\cos (\frac{3 \cdot π}{2})}$

Etapa 1.3.3.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{0}{\cos (\frac{π}{2})}$

Etapa 1.3.3.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.3.5

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 3} \frac{(9 - x^{2})}{\cos (\frac{π}{2} x)} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{2} x)]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{2} x)]}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{2} x)]}$

Etapa 3.3

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{2} x)]}$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{2} x)]}$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{0 - (2 x)}{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{2} x)]}$

Etapa 3.4.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{0 - 2 x}{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{2} x)]}$

Etapa 3.5

Subtraia $2 x$ de $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{2} x)]}$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \frac{π}{2} x$ .

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Etapa 3.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{π}{2} x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} x]}$

Etapa 3.6.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} x]}$

Etapa 3.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{π}{2} x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{- \sin (\frac{π}{2} x) \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} x]}$

Etapa 3.7

Combine $\frac{π}{2}$ e $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{- \sin (\frac{π x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} x]}$

Etapa 3.8

Combine $\frac{π}{2}$ e $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{- \sin (\frac{π x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}]}$

Etapa 3.9

Como $\frac{π}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{π x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{- \sin (\frac{π x}{2}) (\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x])}$

Etapa 3.10

Combine $\frac{π}{2}$ e $\sin (\frac{π x}{2})$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{- \frac{π \sin (\frac{π x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{- \frac{π \sin (\frac{π x}{2})}{2} \cdot 1}$

Etapa 3.12

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{- \frac{π \sin (\frac{π x}{2})}{2}}$

Etapa 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 3} - 2 x (- \frac{2}{π \sin (\frac{π x}{2})})$

Etapa 5

Combine os fatores.

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Etapa 5.1

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$lim_{x \to 3} 2 x \frac{2}{π \sin (\frac{π x}{2})}$

Etapa 5.2

Combine $2$ e $\frac{2}{π \sin (\frac{π x}{2})}$ .

$lim_{x \to 3} x \frac{2 \cdot 2}{π \sin (\frac{π x}{2})}$

Etapa 5.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$lim_{x \to 3} x \frac{4}{π \sin (\frac{π x}{2})}$

Etapa 5.4

Combine $x$ e $\frac{4}{π \sin (\frac{π x}{2})}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{x \cdot 4}{π \sin (\frac{π x}{2})}$

Etapa 6

Mova o termo $\frac{4}{π}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4}{π} lim_{x \to 3} \frac{x}{\sin (\frac{π x}{2})}$

Etapa 7

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{lim_{x \to 3} x}{lim_{x \to 3} \sin (\frac{π x}{2})}$

Etapa 8

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{lim_{x \to 3} x}{\sin (lim_{x \to 3} \frac{π x}{2})}$

Etapa 9

Mova o termo $\frac{π}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{lim_{x \to 3} x}{\sin (\frac{π}{2} lim_{x \to 3} x)}$

Etapa 10

Avalie os limites substituindo $3$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 10.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{3}{\sin (\frac{π}{2} lim_{x \to 3} x)}$

Etapa 10.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{3}{\sin (\frac{π}{2} \cdot 3)}$

Etapa 11

Simplifique a resposta.

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Etapa 11.1

Separe as frações.

$\frac{4}{π} (\frac{3}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\frac{π}{2} \cdot 3)})$

Etapa 11.2

Converta de $\frac{1}{\sin (\frac{π}{2} \cdot 3)}$ em $\csc (\frac{π}{2} \cdot 3)$ .

$\frac{4}{π} (\frac{3}{1} \csc (\frac{π}{2} \cdot 3))$

Etapa 11.3

Divida $3$ por $1$ .

$\frac{4}{π} (3 \csc (\frac{π}{2} \cdot 3))$

Etapa 11.4

Combine $\frac{π}{2}$ e $3$ .

$\frac{4}{π} (3 \csc (\frac{π \cdot 3}{2}))$

Etapa 11.5

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{4}{π} (3 \csc (\frac{3 \cdot π}{2}))$

Etapa 11.6

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a cossecante é negativa no quarto quadrante.

$\frac{4}{π} (3 (- \csc (\frac{π}{2})))$

Etapa 11.7

O valor exato de $\csc (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$\frac{4}{π} (3 (- 1 \cdot 1))$

Etapa 11.8

Multiplique $3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 11.8.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{4}{π} (3 \cdot - 1)$

Etapa 11.8.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{4}{π} \cdot - 3$

Etapa 11.9

Multiplique $\frac{4}{π} \cdot - 3$ .

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Etapa 11.9.1

Combine $\frac{4}{π}$ e $- 3$ .

$\frac{4 \cdot - 3}{π}$

Etapa 11.9.2

Multiplique $4$ por $- 3$ .

$\frac{- 12}{π}$

Etapa 11.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{12}{π}$