Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 4 x - 7}{x^{3} + 3 x^{2} - 5}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{2} + 4 x - 7}{lim_{x \to \infty} x^{3} + 3 x^{2} - 5}$

Etapa 1.2

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{3} + 3 x^{2} - 5}$

Etapa 1.3

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 4 x - 7}{x^{3} + 3 x^{2} - 5} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 4 x - 7]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 4 x - 7]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} + 4 x - 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Etapa 3.3.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 3.4.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Etapa 3.4.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Etapa 3.5

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 4 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Etapa 3.6

Some $4 x + 4$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Etapa 3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 3 x^{2} - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 4}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Etapa 3.9

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 3.9.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 4}{3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Etapa 3.9.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 4}{3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Etapa 3.9.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 4}{3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Etapa 3.10

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 4}{3 x^{2} + 6 x + 0}$

Etapa 3.11

Some $3 x^{2} + 6 x$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 4}{3 x^{2} + 6 x}$

Etapa 4

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Etapa 5

Avalie o limite.

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Etapa 5.1

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

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Etapa 5.1.1

Fatore $x$ de $4 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 4}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Etapa 5.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.1.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 4}{x \cdot x} + \frac{4}{x^{2}}}{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Etapa 5.1.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 4}{x \cdot x} + \frac{4}{x^{2}}}{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Etapa 5.1.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Etapa 5.2.1.2

Divida $3$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{3 + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Etapa 5.2.2

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

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Etapa 5.2.2.1

Fatore $x$ de $6 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{3 + \frac{x \cdot 6}{x^{2}}}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.2.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{3 + \frac{x \cdot 6}{x \cdot x}}$

Etapa 5.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{3 + \frac{x \cdot 6}{x \cdot x}}$

Etapa 5.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{3 + \frac{6}{x}}$

Etapa 5.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{6}{x}}$

Etapa 5.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{6}{x}}$

Etapa 5.5

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{6}{x}}$

Etapa 6

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{4 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{6}{x}}$

Etapa 7

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{6}{x}}$

Etapa 8

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{6}{x}}$

Etapa 9

Avalie o limite.

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Etapa 9.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x}}$

Etapa 9.2

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 4 \cdot 0}{3 + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x}}$

Etapa 9.3

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 4 \cdot 0}{3 + 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Etapa 10

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 4 \cdot 0}{3 + 6 \cdot 0}$

Etapa 11

Simplifique a resposta.

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Etapa 11.1

Cancele o fator comum de $4 \cdot 0 + 4 \cdot 0$ e $3 + 6 \cdot 0$ .

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Etapa 11.1.1

Reordene os termos.

$\frac{0 \cdot 4 + 0 \cdot 4}{3 + 6 \cdot 0}$

Etapa 11.1.2

Fatore $3$ de $0 \cdot 4$ .

$\frac{3 (0 \cdot 4) + 0 \cdot 4}{3 + 6 \cdot 0}$

Etapa 11.1.3

Fatore $3$ de $0 \cdot 4$ .

$\frac{3 (0 \cdot 4) + 3 (0 \cdot 4)}{3 + 6 \cdot 0}$

Etapa 11.1.4

Fatore $3$ de $3 (0 \cdot 4) + 3 (0 \cdot 4)$ .

$\frac{3 (0 \cdot 4 + 0 \cdot 4)}{3 + 6 \cdot 0}$

Etapa 11.1.5

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.1.5.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (0 \cdot 4 + 0 \cdot 4)}{3 (1) + 6 \cdot 0}$

Etapa 11.1.5.2

Fatore $3$ de $6 \cdot 0$ .

$\frac{3 (0 \cdot 4 + 0 \cdot 4)}{3 (1) + 3 (2 \cdot 0)}$

Etapa 11.1.5.3

Fatore $3$ de $3 (1) + 3 (2 \cdot 0)$ .

$\frac{3 (0 \cdot 4 + 0 \cdot 4)}{3 (1 + 2 \cdot 0)}$

Etapa 11.1.5.4

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (0 \cdot 4 + 0 \cdot 4)}{3 (1 + 2 \cdot 0)}$

Etapa 11.1.5.5

Reescreva a expressão.

$\frac{0 \cdot 4 + 0 \cdot 4}{1 + 2 \cdot 0}$

Etapa 11.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.2.1

Multiplique $0$ por $4$ .

$\frac{0 + 0 \cdot 4}{1 + 2 \cdot 0}$

Etapa 11.2.2

Multiplique $0$ por $4$ .

$\frac{0 + 0}{1 + 2 \cdot 0}$

Etapa 11.2.3

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{1 + 2 \cdot 0}$

Etapa 11.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 11.3.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0}{1 + 0}$

Etapa 11.3.2

Some $1$ e $0$ .

$\frac{0}{1}$

Etapa 11.4

Divida $0$ por $1$ .

$0$