Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{\ln (x)}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

Etapa 1.2

Como o expoente $3 x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{3 x}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

Etapa 1.3

À medida que o logaritmo se aproxima do infinito, o valor chega a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{\ln (x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 3.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} (3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 3.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 3.6

Mova $3$ para a esquerda de $e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \cdot e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 3.7

Multiplique $3$ por $e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 3.8

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{\frac{1}{x}}$

Etapa 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x} x$

Etapa 5

Avalie o limite.

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Etapa 5.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$lim_{x \to \infty} 3 \cdot lim_{x \to \infty} e^{3 x} \cdot lim_{x \to \infty} x$

Etapa 5.2

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$3 \cdot lim_{x \to \infty} e^{3 x} \cdot lim_{x \to \infty} x$

Etapa 6

Como o expoente $3 x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{3 x}$ se aproxima de $\infty$ .

$3 \cdot \infty \cdot lim_{x \to \infty} x$

Etapa 7

Avalie o limite.

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Etapa 7.1

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$3 \cdot \infty \cdot \infty$

Etapa 7.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.2.1

Uma constante diferente de zero vezes infinito é igual a infinito.

$\infty \cdot \infty$

Etapa 7.2.2

Infinito vezes infinito é infinito.

$\infty$