Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \ln (7 x) - \ln (x + 8)$

Etapa 1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$lim_{x \to \infty} \ln (\frac{7 x}{x + 8})$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\ln (lim_{x \to \infty} \frac{7 x}{x + 8})$

Etapa 2.2

Mova o termo $7$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\ln (7 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x + 8})$

Etapa 3

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x$ .

$\ln (7 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{8}{x}})$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.1.1

Cancele o fator comum.

$\ln (7 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{8}{x}})$

Etapa 4.1.2

Reescreva a expressão.

$\ln (7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{8}{x}})$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum.

$\ln (7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{8}{x}})$

Etapa 4.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln (7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{8}{x}})$

Etapa 4.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\ln (7 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{8}{x}})$

Etapa 4.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\ln (7 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{8}{x}})$

Etapa 4.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\ln (7 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{8}{x}})$

Etapa 4.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\ln (7 \frac{1}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{8}{x}})$

Etapa 4.7

Mova o termo $8$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\ln (7 \frac{1}{1 + 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}})$

Etapa 5

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\ln (7 \frac{1}{1 + 8 \cdot 0})$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.1.1

Multiplique $8$ por $0$ .

$\ln (7 \frac{1}{1 + 0})$

Etapa 6.1.2

Some $1$ e $0$ .

$\ln (7 (\frac{1}{1}))$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum.

$\ln (7 (\frac{1}{1}))$

Etapa 6.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln (7 \cdot 1)$

Etapa 6.3

Multiplique $7$ por $1$ .

$\ln (7)$