Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + \frac{a}{x})}{\frac{1}{x}}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (1 + \frac{a}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.2.1.1

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to \infty} 1 + \frac{a}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Etapa 1.2.1.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{a}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Etapa 1.2.1.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\ln (1 + lim_{x \to \infty} \frac{a}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Etapa 1.2.1.4

Mova o termo $a$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\ln (1 + a lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Etapa 1.2.2

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\ln (1 + a \cdot 0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Etapa 1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.3.1

Multiplique $a$ por $0$ .

$\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Etapa 1.2.3.2

Some $1$ e $0$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Etapa 1.2.3.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Etapa 1.3

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + \frac{a}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + \frac{a}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + \frac{a}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 1 + \frac{a}{x}$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 + \frac{a}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + \frac{a}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \frac{a}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 3.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 3.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 3.6

Como $a$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{a}{x}$ em relação a $x$ é $a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} (a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 3.7

Combine $a$ e $\frac{1}{1 + \frac{a}{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{a}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 3.8

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{a}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{a}{1 + \frac{a}{x}} (- x^{- 2})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 3.10

Combine $\frac{a}{1 + \frac{a}{x}}$ e $x^{- 2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a x^{- 2}}{1 + \frac{a}{x}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 3.11

Mova $x^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{(1 + \frac{a}{x}) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 3.12

Simplifique.

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Etapa 3.12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{1 x^{2} + \frac{a}{x} x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 3.12.2

Combine os termos.

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Etapa 3.12.2.1

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + \frac{a}{x} x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 3.12.2.2

Combine $\frac{a}{x}$ e $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + \frac{a x^{2}}{x}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 3.12.2.3

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 3.12.2.3.1

Fatore $x$ de $a x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 3.12.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.12.2.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x^{1}}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 3.12.2.3.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x \cdot 1}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 3.12.2.3.2.3

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x \cdot 1}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 3.12.2.3.2.4

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + \frac{a x}{1}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 3.12.2.3.2.5

Divida $a x$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + a x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 3.12.3

Fatore $x$ de $x^{2} + a x$ .

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Etapa 3.12.3.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x \cdot x + a x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 3.12.3.2

Fatore $x$ de $a x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x \cdot x + x a}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 3.12.3.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x a$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x (x + a)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 3.13

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x (x + a)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

Etapa 3.14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x (x + a)}}{- x^{- 2}}$

Etapa 3.15

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x (x + a)}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to \infty} - \frac{a}{x (x + a)} (- x^{2})$

Etapa 5

Combine os fatores.

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Etapa 5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} 1 \frac{a}{x (x + a)} x^{2}$

Etapa 5.2

Multiplique $\frac{a}{x (x + a)}$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{a}{x (x + a)} x^{2}$

Etapa 5.3

Combine $\frac{a}{x (x + a)}$ e $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{a x^{2}}{x (x + a)}$

Etapa 6

Avalie o limite.

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Etapa 6.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 6.1.1

Fatore $x$ de $a x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (a x)}{x (x + a)}$

Etapa 6.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.1.2.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (a x)}{x (x + a)}$

Etapa 6.1.2.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{a x}{x + a}$

Etapa 6.2

Mova o termo $a$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$a lim_{x \to \infty} \frac{x}{x + a}$

Etapa 7

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x$ .

$a lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{a}{x}}$

Etapa 8

Avalie o limite.

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Etapa 8.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 8.1.1

Cancele o fator comum.

$a lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{a}{x}}$

Etapa 8.1.2

Reescreva a expressão.

$a lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{a}{x}}$

Etapa 8.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum.

$a lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{a}{x}}$

Etapa 8.2.2

Reescreva a expressão.

$a lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{a}{x}}$

Etapa 8.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$a \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{a}{x}}$

Etapa 8.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$a \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{a}{x}}$

Etapa 8.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$a \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{a}{x}}$

Etapa 8.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$a \frac{1}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{a}{x}}$

Etapa 8.7

Mova o termo $a$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$a \frac{1}{1 + a lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Etapa 9

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$a \frac{1}{1 + a \cdot 0}$

Etapa 10

Simplifique a resposta.

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Etapa 10.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 10.1.1

Multiplique $a$ por $0$ .

$a \frac{1}{1 + 0}$

Etapa 10.1.2

Some $1$ e $0$ .

$a \frac{1}{1}$

Etapa 10.2

Divida $1$ por $1$ .

$a \cdot 1$

Etapa 10.3

Multiplique $a$ por $1$ .

$a$