Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{3 - e^{x}}{3 + 5 e^{x}}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 - e^{x}}{lim_{x \to \infty} 3 + 5 e^{x}}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 - lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 3 + 5 e^{x}}$

Etapa 1.2.1.2

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{3 - lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 3 + 5 e^{x}}$

Etapa 1.2.2

Como o expoente $x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{x}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{3 - \infty}{lim_{x \to \infty} 3 + 5 e^{x}}$

Etapa 1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.3.1

Uma constante diferente de zero vezes infinito é igual a infinito.

$\frac{3 + - \infty}{lim_{x \to \infty} 3 + 5 e^{x}}$

Etapa 1.2.3.2

Infinito mais ou menos um número é infinito.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 3 + 5 e^{x}}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} 5 e^{x}}$

Etapa 1.3.1.2

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{- \infty}{3 + lim_{x \to \infty} 5 e^{x}}$

Etapa 1.3.2

Como a função $e^{x}$ se aproxima de $\infty$ , a constante positiva $5$ vezes a função também se aproxima de $\infty$ .

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Etapa 1.3.2.1

Considere o limite com o múltiplo constante $5$ removido.

$\frac{- \infty}{3 + lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Etapa 1.3.2.2

Como o expoente $x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{x}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{- \infty}{3 + \infty}$

Etapa 1.3.3

Infinito mais ou menos um número é infinito.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Etapa 1.3.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{- \infty}{\infty}$

Etapa 1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{- \infty}{\infty}$

Etapa 2

Como $\frac{- \infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 - e^{x}}{3 + 5 e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 - e^{x}]}{\frac{d}{d x} [3 + 5 e^{x}]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 - e^{x}]}{\frac{d}{d x} [3 + 5 e^{x}]}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 - e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]}{\frac{d}{d x} [3 + 5 e^{x}]}$

Etapa 3.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]}{\frac{d}{d x} [3 + 5 e^{x}]}$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

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Etapa 3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- e^{x}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [3 + 5 e^{x}]}$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - e^{x}}{\frac{d}{d x} [3 + 5 e^{x}]}$

Etapa 3.5

Subtraia $e^{x}$ de $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{\frac{d}{d x} [3 + 5 e^{x}]}$

Etapa 3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 + 5 e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [5 e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [5 e^{x}]}$

Etapa 3.7

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{0 + \frac{d}{d x} [5 e^{x}]}$

Etapa 3.8

Avalie $\frac{d}{d x} [5 e^{x}]$ .

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Etapa 3.8.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 e^{x}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{0 + 5 \frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Etapa 3.8.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{0 + 5 e^{x}}$

Etapa 3.9

Some $0$ e $5 e^{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{5 e^{x}}$

Etapa 4

Cancele o fator comum de $e^{x}$ .

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Etapa 4.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{5 e^{x}}$

Etapa 4.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 1}{5}$

Etapa 5

Avalie o limite de $\frac{- 1}{5}$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{- 1}{5}$

Etapa 6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{5}$