Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{64 x^{2} - 25}{x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 64 x^{2} - 25$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [64 x^{2} - 25] - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $64 x^{2} - 25$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]) - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Como $64$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $64 x^{2}$ em relação a $x$ é $64 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (64 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]) - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x (64 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 25]) - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2.4

Multiplique $2$ por $64$ .

$\frac{x (128 x + \frac{d}{d x} [- 25]) - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2.5

Como $- 25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 25$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x (128 x + 0) - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2.6

Some $128 x$ e $0$ .

$\frac{x (128 x) - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{128 (x^{1} x) - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{128 (x^{1} x^{1}) - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.1.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{128 x^{1 + 1} - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.1.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{128 x^{2} - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.1.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{128 x^{2} - (64 x^{2} - 25) \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 1.1.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{128 x^{2} - (64 x^{2} - 25)}{x^{2}}$

Etapa 1.1.9

Simplifique.

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Etapa 1.1.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{128 x^{2} - (64 x^{2}) - - 25}{x^{2}}$

Etapa 1.1.9.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.9.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.9.2.1.1

Multiplique $64$ por $- 1$ .

$\frac{128 x^{2} - 64 x^{2} - - 25}{x^{2}}$

Etapa 1.1.9.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 25$ .

$\frac{128 x^{2} - 64 x^{2} + 25}{x^{2}}$

Etapa 1.1.9.2.2

Subtraia $64 x^{2}$ de $128 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{64 x^{2} + 25}{x^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{64 x^{2} + 25}{x^{2}}$ .

$\frac{64 x^{2} + 25}{x^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{64 x^{2} + 25}{x^{2}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{64 x^{2} + 25}{x^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$64 x^{2} + 25 = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Subtraia $25$ dos dois lados da equação.

$64 x^{2} = - 25$

Etapa 2.3.2

Divida cada termo em $64 x^{2} = - 25$ por $64$ e simplifique.

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Etapa 2.3.2.1

Divida cada termo em $64 x^{2} = - 25$ por $64$ .

$\frac{64 x^{2}}{64} = \frac{- 25}{64}$

Etapa 2.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $64$ .

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Etapa 2.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{64 x^{2}}{64} = \frac{- 25}{64}$

Etapa 2.3.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 25}{64}$

Etapa 2.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{2} = - \frac{25}{64}$

Etapa 2.3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- \frac{25}{64}}$

Etapa 2.3.4

Simplifique $\pm \sqrt{- \frac{25}{64}}$ .

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Etapa 2.3.4.1

Reescreva $- \frac{25}{64}$ como ${(\frac{5 i}{8})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{5 i}{8})}^{2}}$

Etapa 2.3.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm \frac{5 i}{8}$

Etapa 2.3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{5 i}{8}$

Etapa 2.3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{5 i}{8}$

Etapa 2.3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{5 i}{8}, - \frac{5 i}{8}$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{64 x^{2} + 25}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 3.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 3.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 3.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 3.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 3.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 4

Avalie $\frac{64 x^{2} - 25}{x}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$\frac{64 {(0)}^{2} - 25}{0}$

Etapa 4.1.2

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 5

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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