Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{100 x^{2} + 81}{x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 100 x^{2} + 81$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [100 x^{2} + 81] - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $100 x^{2} + 81$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [100 x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [100 x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Como $100$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $100 x^{2}$ em relação a $x$ é $100 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (100 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x (100 (2 x) + \frac{d}{d x} [81]) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2.4

Multiplique $2$ por $100$ .

$\frac{x (200 x + \frac{d}{d x} [81]) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2.5

Como $81$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $81$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x (200 x + 0) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2.6

Some $200 x$ e $0$ .

$\frac{x (200 x) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{200 (x^{1} x) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{200 (x^{1} x^{1}) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.1.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{200 x^{1 + 1} - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.1.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{200 x^{2} - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.1.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{200 x^{2} - (100 x^{2} + 81) \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 1.1.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{200 x^{2} - (100 x^{2} + 81)}{x^{2}}$

Etapa 1.1.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{200 x^{2} - (100 x^{2}) - 1 \cdot 81}{x^{2}}$

Etapa 1.1.9.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.9.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.9.2.1.1

Multiplique $100$ por $- 1$ .

$\frac{200 x^{2} - 100 x^{2} - 1 \cdot 81}{x^{2}}$

Etapa 1.1.9.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $81$ .

$\frac{200 x^{2} - 100 x^{2} - 81}{x^{2}}$

Etapa 1.1.9.2.2

Subtraia $100 x^{2}$ de $200 x^{2}$ .

$\frac{100 x^{2} - 81}{x^{2}}$

Etapa 1.1.9.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.9.3.1

Reescreva $100 x^{2}$ como ${(10 x)}^{2}$ .

$\frac{{(10 x)}^{2} - 81}{x^{2}}$

Etapa 1.1.9.3.2

Reescreva $81$ como $9^{2}$ .

$\frac{{(10 x)}^{2} - 9^{2}}{x^{2}}$

Etapa 1.1.9.3.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 10 x$ e $b = 9$ .

$f' (x) = \frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}}$ .

$\frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$(10 x + 9) (10 x - 9) = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$10 x + 9 = 0$

$10 x - 9 = 0$

Etapa 2.3.2

Defina $10 x + 9$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Defina $10 x + 9$ como igual a $0$ .

$10 x + 9 = 0$

Etapa 2.3.2.2

Resolva $10 x + 9 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$10 x = - 9$

Etapa 2.3.2.2.2

Divida cada termo em $10 x = - 9$ por $10$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.2.1

Divida cada termo em $10 x = - 9$ por $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 9}{10}$

Etapa 2.3.2.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 9}{10}$

Etapa 2.3.2.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 9}{10}$

Etapa 2.3.2.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{9}{10}$

Etapa 2.3.3

Defina $10 x - 9$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Defina $10 x - 9$ como igual a $0$ .

$10 x - 9 = 0$

Etapa 2.3.3.2

Resolva $10 x - 9 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1

Some $9$ aos dois lados da equação.

$10 x = 9$

Etapa 2.3.3.2.2

Divida cada termo em $10 x = 9$ por $10$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.2.1

Divida cada termo em $10 x = 9$ por $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{9}{10}$

Etapa 2.3.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{10 x}{10} = \frac{9}{10}$

Etapa 2.3.3.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{9}{10}$

Etapa 2.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $(10 x + 9) (10 x - 9) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{9}{10}, \frac{9}{10}$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 3.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 3.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 3.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 4

Avalie $\frac{100 x^{2} + 81}{x}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie em $x = - \frac{9}{10}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $- \frac{9}{10}$ por $x$ .

$\frac{100 {(- \frac{9}{10})}^{2} + 81}{- \frac{9}{10}}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$(100 {(- \frac{9}{10})}^{2} + 81) (- \frac{10}{9})$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{9}{10}$ .

$(100 ({(- 1)}^{2} {(\frac{9}{10})}^{2}) + 81) (- \frac{10}{9})$

Etapa 4.1.2.2.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{9}{10}$ .

$(100 ({(- 1)}^{2} \frac{9^{2}}{10^{2}}) + 81) (- \frac{10}{9})$

Etapa 4.1.2.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$(100 (1 \frac{9^{2}}{10^{2}}) + 81) (- \frac{10}{9})$

Etapa 4.1.2.2.3

Multiplique $\frac{9^{2}}{10^{2}}$ por $1$ .

$(100 \frac{9^{2}}{10^{2}} + 81) (- \frac{10}{9})$

Etapa 4.1.2.2.4

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$(100 \frac{81}{10^{2}} + 81) (- \frac{10}{9})$

Etapa 4.1.2.2.5

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$(100 (\frac{81}{100}) + 81) (- \frac{10}{9})$

Etapa 4.1.2.2.6

Cancele o fator comum de $100$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.6.1

Cancele o fator comum.

$(100 (\frac{81}{100}) + 81) (- \frac{10}{9})$

Etapa 4.1.2.2.6.2

Reescreva a expressão.

$(81 + 81) (- \frac{10}{9})$

Etapa 4.1.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1

Some $81$ e $81$ .

$162 (- \frac{10}{9})$

Etapa 4.1.2.3.2

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{10}{9}$ para o numerador.

$162 (\frac{- 10}{9})$

Etapa 4.1.2.3.2.2

Fatore $9$ de $162$ .

$9 (18) \frac{- 10}{9}$

Etapa 4.1.2.3.2.3

Cancele o fator comum.

$9 \cdot 18 \frac{- 10}{9}$

Etapa 4.1.2.3.2.4

Reescreva a expressão.

$18 \cdot - 10$

Etapa 4.1.2.3.3

Multiplique $18$ por $- 10$ .

$- 180$

Etapa 4.2

Avalie em $x = \frac{9}{10}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $\frac{9}{10}$ por $x$ .

$\frac{100 {(\frac{9}{10})}^{2} + 81}{\frac{9}{10}}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$(100 {(\frac{9}{10})}^{2} + 81) \frac{10}{9}$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{9}{10}$ .

$(100 \frac{9^{2}}{10^{2}} + 81) \frac{10}{9}$

Etapa 4.2.2.2.2

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$(100 \frac{81}{10^{2}} + 81) \frac{10}{9}$

Etapa 4.2.2.2.3

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$(100 (\frac{81}{100}) + 81) \frac{10}{9}$

Etapa 4.2.2.2.4

Cancele o fator comum de $100$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$(100 (\frac{81}{100}) + 81) \frac{10}{9}$

Etapa 4.2.2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$(81 + 81) \frac{10}{9}$

Etapa 4.2.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.3.1

Some $81$ e $81$ .

$162 (\frac{10}{9})$

Etapa 4.2.2.3.2

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.3.2.1

Fatore $9$ de $162$ .

$9 (18) \frac{10}{9}$

Etapa 4.2.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$9 \cdot 18 \frac{10}{9}$

Etapa 4.2.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$18 \cdot 10$

Etapa 4.2.2.3.3

Multiplique $18$ por $10$ .

$180$

Etapa 4.3

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $0$ por $x$ .

$\frac{100 {(0)}^{2} + 81}{0}$

Etapa 4.3.2

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 4.4

Liste todos os pontos.

$(- \frac{9}{10}, - 180), (\frac{9}{10}, 180)$

Etapa 5