Cálculo Exemplos

$h (x) = \cos (\frac{3 x}{2})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \frac{3 x}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{3 x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}]$

Etapa 1.1.1.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}]$

Etapa 1.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{3 x}{2}$ .

$- \sin (\frac{3 x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

Como $\frac{3}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3 x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (\frac{3 x}{2}) (\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.1.2.2

Combine $\frac{3}{2}$ e $\sin (\frac{3 x}{2})$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2} \cdot 1$

Etapa 1.1.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $h (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$3 \sin (\frac{3 x}{2}) = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $3 \sin (\frac{3 x}{2}) = 0$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Divida cada termo em $3 \sin (\frac{3 x}{2}) = 0$ por $3$ .

$\frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 2.3.1.2.1.2

Divida $\sin (\frac{3 x}{2})$ por $1$ .

$\sin (\frac{3 x}{2}) = \frac{0}{3}$

Etapa 2.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.1

Divida $0$ por $3$ .

$\sin (\frac{3 x}{2}) = 0$

Etapa 2.3.2

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$\frac{3 x}{2} = \arcsin (0)$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$\frac{3 x}{2} = 0$

Etapa 2.3.4

Defina o numerador como igual a zero.

$3 x = 0$

Etapa 2.3.5

Divida cada termo em $3 x = 0$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Divida cada termo em $3 x = 0$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 2.3.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 2.3.5.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Etapa 2.3.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.3.1

Divida $0$ por $3$ .

$x = 0$

Etapa 2.3.6

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$\frac{3 x}{2} = π - 0$

Etapa 2.3.7

Resolva $x$ .

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Etapa 2.3.7.1

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} (π - 0)$

Etapa 2.3.7.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.2.1.1

Simplifique $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.2.1.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.2.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} (π - 0)$

Etapa 2.3.7.2.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Etapa 2.3.7.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.2.1.1.2.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$\frac{1}{3} (3 (x)) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Etapa 2.3.7.2.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Etapa 2.3.7.2.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{2}{3} (π - 0)$

Etapa 2.3.7.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.2.2.1

Simplifique $\frac{2}{3} (π - 0)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.2.2.1.1

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = \frac{2}{3} π$

Etapa 2.3.7.2.2.1.2

Combine $\frac{2}{3}$ e $π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Etapa 2.3.8

Encontre o período de $\sin (\frac{3 x}{2})$ .

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Etapa 2.3.8.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.3.8.2

Substitua $b$ por $\frac{3}{2}$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| \frac{3}{2} |}$

Etapa 2.3.8.3

$\frac{3}{2}$ é aproximadamente $1.5$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{3}{2}}$

Etapa 2.3.8.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \frac{2}{3}$

Etapa 2.3.8.5

Multiplique $2 π \frac{2}{3}$ .

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Etapa 2.3.8.5.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} π$

Etapa 2.3.8.5.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4}{3} π$

Etapa 2.3.8.5.3

Combine $\frac{4}{3}$ e $π$ .

$\frac{4 π}{3}$

Etapa 2.3.9

O período da função $\sin (\frac{3 x}{2})$ é $\frac{4 π}{3}$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $\frac{4 π}{3}$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{4 π n}{3}, \frac{2 π}{3} + \frac{4 π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.4

Consolide as respostas.

$x = \frac{2 π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $\cos (\frac{3 x}{2})$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$\cos (\frac{3 (0)}{2})$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Fatore $2$ de $3 (0)$ .

$\cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2})$

Etapa 4.1.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 (1)})$

Etapa 4.1.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 \cdot 1})$

Etapa 4.1.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\cos (\frac{3 \cdot (0)}{1})$

Etapa 4.1.2.1.2.4

Divida $3 \cdot (0)$ por $1$ .

$\cos (3 \cdot (0))$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$\cos (0)$

Etapa 4.1.2.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$1$

Etapa 4.2

Avalie em $x = \frac{2 π}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $\frac{2 π}{3}$ por $x$ .

$\cos (\frac{3 (\frac{2 π}{3})}{2})$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Combine $3$ e $\frac{2 π}{3}$ .

$\cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})$

Etapa 4.2.2.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\cos (\frac{\frac{6 π}{3}}{2})$

Etapa 4.2.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.3.1

Reduza a expressão $\frac{6 π}{3}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.3.1.1

Fatore $3$ de $6 π$ .

$\cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})$

Etapa 4.2.2.3.1.2

Fatore $3$ de $3$ .

$\cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 (1)}}{2})$

Etapa 4.2.2.3.1.3

Cancele o fator comum.

$\cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1}}{2})$

Etapa 4.2.2.3.1.4

Reescreva a expressão.

$\cos (\frac{\frac{2 π}{1}}{2})$

Etapa 4.2.2.3.2

Divida $2 π$ por $1$ .

$\cos (\frac{2 π}{2})$

Etapa 4.2.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\cos (\frac{2 π}{2})$

Etapa 4.2.2.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$\cos (π)$

Etapa 4.2.2.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$- \cos (0)$

Etapa 4.2.2.6

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 4.2.2.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(0 + \frac{4 π n}{3}, 1), (\frac{2 π}{3} + \frac{4 π n}{3}, - 1)$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5