Cálculo Exemplos

$f (x) = 7 {(- 3 x^{2} + 12)}^{2} + 1$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 {(- 3 x^{2} + 12)}^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 {(- 3 x^{2} + 12)}^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(- 3 x^{2} + 12)}^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [7 {(- 3 x^{2} + 12)}^{2}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 {(- 3 x^{2} + 12)}^{2}$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [{(- 3 x^{2} + 12)}^{2}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [{(- 3 x^{2} + 12)}^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = - 3 x^{2} + 12$ .

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Etapa 1.1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 3 x^{2} + 12$ .

$7 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 12]) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$7 (2 u \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 12]) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 3 x^{2} + 12$ .

$7 (2 (- 3 x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 12]) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 3 x^{2} + 12$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$7 (2 (- 3 x^{2} + 12) (\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12])) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.2.4

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 (2 (- 3 x^{2} + 12) (- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12])) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$7 (2 (- 3 x^{2} + 12) (- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [12])) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.2.6

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12$ em relação a $x$ é $0$ .

$7 (2 (- 3 x^{2} + 12) (- 3 (2 x) + 0)) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.2.7

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$7 (2 (- 3 x^{2} + 12) (- 6 x + 0)) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.2.8

Some $- 6 x$ e $0$ .

$7 (2 (- 3 x^{2} + 12) (- 6 x)) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.2.9

Multiplique $- 6$ por $2$ .

$7 (- 12 (- 3 x^{2} + 12) x) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.2.10

Multiplique $- 12$ por $7$ .

$- 84 (- 3 x^{2} + 12) x + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 84 (- 3 x^{2} + 12) x + 0$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

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Etapa 1.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(- 84 (- 3 x^{2}) - 84 \cdot 12) x + 0$

Etapa 1.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 84 (- 3 x^{2}) x - 84 \cdot 12 x + 0$

Etapa 1.1.4.3

Combine os termos.

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Etapa 1.1.4.3.1

Multiplique $- 3$ por $- 84$ .

$252 x^{2} x - 84 \cdot 12 x + 0$

Etapa 1.1.4.3.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$252 (x^{1} x^{2}) - 84 \cdot 12 x + 0$

Etapa 1.1.4.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$252 x^{1 + 2} - 84 \cdot 12 x + 0$

Etapa 1.1.4.3.4

Some $1$ e $2$ .

$252 x^{3} - 84 \cdot 12 x + 0$

Etapa 1.1.4.3.5

Multiplique $- 84$ por $12$ .

$252 x^{3} - 1008 x + 0$

Etapa 1.1.4.3.6

Some $252 x^{3} - 1008 x$ e $0$ .

$f' (x) = 252 x^{3} - 1008 x$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $252 x^{3} - 1008 x$ .

$252 x^{3} - 1008 x$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $252 x^{3} - 1008 x = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$252 x^{3} - 1008 x = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.2.1

Fatore $252 x$ de $252 x^{3} - 1008 x$ .

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Etapa 2.2.1.1

Fatore $252 x$ de $252 x^{3}$ .

$252 x (x^{2}) - 1008 x = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $252 x$ de $- 1008 x$ .

$252 x (x^{2}) + 252 x (- 4) = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $252 x$ de $252 x (x^{2}) + 252 x (- 4)$ .

$252 x (x^{2} - 4) = 0$

Etapa 2.2.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$252 x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore.

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Etapa 2.2.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$252 x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Etapa 2.2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$252 x (x + 2) (x - 2) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 2.5.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 2.6

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.6.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 2.6.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 2.7

A solução final são todos os valores que tornam $252 x (x + 2) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 2, 2$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $7 {(- 3 x^{2} + 12)}^{2} + 1$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$7 {(- 3 {(0)}^{2} + 12)}^{2} + 1$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$7 {(- 3 \cdot 0 + 12)}^{2} + 1$

Etapa 4.1.2.1.1.2

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$7 {(0 + 12)}^{2} + 1$

Etapa 4.1.2.1.2

Some $0$ e $12$ .

$7 \cdot 12^{2} + 1$

Etapa 4.1.2.1.3

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$7 \cdot 144 + 1$

Etapa 4.1.2.1.4

Multiplique $7$ por $144$ .

$1008 + 1$

Etapa 4.1.2.2

Some $1008$ e $1$ .

$1009$

Etapa 4.2

Avalie em $x = - 2$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $- 2$ por $x$ .

$7 {(- 3 {(- 2)}^{2} + 12)}^{2} + 1$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.2.1.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$7 {(- 3 \cdot 4 + 12)}^{2} + 1$

Etapa 4.2.2.1.1.2

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$7 {(- 12 + 12)}^{2} + 1$

Etapa 4.2.2.1.2

Some $- 12$ e $12$ .

$7 \cdot 0^{2} + 1$

Etapa 4.2.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$7 \cdot 0 + 1$

Etapa 4.2.2.1.4

Multiplique $7$ por $0$ .

$0 + 1$

Etapa 4.2.2.2

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 4.3

Avalie em $x = 2$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $2$ por $x$ .

$7 {(- 3 {(2)}^{2} + 12)}^{2} + 1$

Etapa 4.3.2

Simplifique.

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Etapa 4.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.2.1.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$7 {(- 3 \cdot 4 + 12)}^{2} + 1$

Etapa 4.3.2.1.1.2

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$7 {(- 12 + 12)}^{2} + 1$

Etapa 4.3.2.1.2

Some $- 12$ e $12$ .

$7 \cdot 0^{2} + 1$

Etapa 4.3.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$7 \cdot 0 + 1$

Etapa 4.3.2.1.4

Multiplique $7$ por $0$ .

$0 + 1$

Etapa 4.3.2.2

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 4.4

Liste todos os pontos.

$(0, 1009), (- 2, 1), (2, 1)$

Etapa 5