Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{(\ln (x))}{x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.1.3.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 1.1.3.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$1 - \ln (x) = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \ln (x) = - 1$

Etapa 2.3.2

Divida cada termo em $- \ln (x) = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Divida cada termo em $- \ln (x) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 2.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\ln (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 2.3.2.2.2

Divida $\ln (x)$ por $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 2.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$\ln (x) = 1$

Etapa 2.3.3

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{1}$

Etapa 2.3.4

Reescreva $\ln (x) = 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x$

Etapa 2.3.5

Reescreva a equação como $x = e^{1}$ .

$x = e$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 3.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 3.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 3.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.3

Defina o argumento em $\ln (x)$ como menor do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x \leq 0$

Etapa 3.4

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Etapa 4

Avalie $\frac{\ln (x)}{x}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie em $x = e$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $e$ por $x$ .

$\frac{\ln (e)}{e}$

Etapa 4.1.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$\frac{1}{e}$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $0$ por $x$ .

$\frac{\ln (0)}{0}$

Etapa 4.2.2

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(e, \frac{1}{e})$

Etapa 5