Cálculo Exemplos

Como ${\displaystyle 6}$ é constante em relação a ${\displaystyle x}$, a derivada de ${\displaystyle 6x^5}$ em relação a ${\displaystyle x}$ é ${\displaystyle 6\frac{d}{dx}\left[x^5\right]}$.

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ é ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, em que ${\displaystyle n=5}$.

Multiplique ${\displaystyle 5}$ por ${\displaystyle 6}$.

Use ${\displaystyle \sqrt[n]{a^x}=a^{\frac{x}{n}}}$ para reescrever ${\displaystyle \sqrt{x}}$ como ${\displaystyle x^{\frac{1}{2}}}$.

Use a regra da multiplicação de potências ${\displaystyle a^m{a}^n=a^{m+n}}$ para combinar expoentes.

Para escrever ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Para escrever ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Escreva cada expressão com um denominador comum de ${\displaystyle 6}$, multiplicando cada um por um fator apropriado de ${\displaystyle 1}$.

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

Some ${\displaystyle 3}$ e ${\displaystyle 2}$.

Como ${\displaystyle 4}$ é constante em relação a ${\displaystyle x}$, a derivada de ${\displaystyle 4x^{\frac{5}{6}}}$ em relação a ${\displaystyle x}$ é ${\displaystyle 4\frac{d}{dx}\left[x^{\frac{5}{6}}\right]}$.

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ é ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, em que ${\displaystyle n=\frac{5}{6}}$.

Para escrever ${\displaystyle -1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por ${\displaystyle \frac{6}{6}}$.

Combine ${\displaystyle -1}$ e ${\displaystyle \frac{6}{6}}$.

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

Simplifique o numerador.

Mova o número negativo para a frente da fração.

Combine ${\displaystyle \frac{5}{6}}$ e ${\displaystyle x^{-\frac{1}{6}}}$.

Combine ${\displaystyle 4}$ e ${\displaystyle \frac{5x^{-\frac{1}{6}}}{6}}$.

Multiplique ${\displaystyle 5}$ por ${\displaystyle 4}$.

Mova ${\displaystyle x^{-\frac{1}{6}}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Fatore ${\displaystyle 2}$ de ${\displaystyle 20}$.

Cancele os fatores comuns.

Como ${\displaystyle -10}$ é constante em relação a ${\displaystyle x}$, a derivada de ${\displaystyle -10e^{\frac{x}{2}}}$ em relação a ${\displaystyle x}$ é ${\displaystyle -10\frac{d}{dx}\left[e^{\frac{x}{2}}\right]}$.

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ é ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, em que ${\displaystyle f\left(x\right)=e^x}$ e ${\displaystyle g\left(x\right)=\frac{x}{2}}$.

Como ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ é constante em relação a ${\displaystyle x}$, a derivada de ${\displaystyle \frac{x}{2}}$ em relação a ${\displaystyle x}$ é ${\displaystyle \frac{1}{2}\frac{d}{dx}\left[x\right]}$.

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ é ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, em que ${\displaystyle n=1}$.

Multiplique ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ por ${\displaystyle 1}$.

Combine ${\displaystyle e^{\frac{x}{2}}}$ e ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Combine ${\displaystyle -10}$ e ${\displaystyle \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}}$.

Cancele o fator comum de ${\displaystyle -10}$ e ${\displaystyle 2}$.

Como ${\displaystyle 30}$ é constante em relação a ${\displaystyle x}$, a derivada de ${\displaystyle 30x^4}$ em relação a ${\displaystyle x}$ é ${\displaystyle 30\frac{d}{dx}\left[x^4\right]}$.

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ é ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, em que ${\displaystyle n=4}$.

Multiplique ${\displaystyle 4}$ por ${\displaystyle 30}$.

Como ${\displaystyle \ln \left(3\right)}$ é constante em relação a ${\displaystyle x}$, a derivada de ${\displaystyle 3^x\ln \left(3\right)}$ em relação a ${\displaystyle x}$ é ${\displaystyle \ln \left(3\right)\frac{d}{dx}\left[3^x\right]}$.

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[a^x\right]}$ é ${\displaystyle a^x\ln \left(a\right)}$, em que ${\displaystyle a}$ = ${\displaystyle 3}$.

Eleve ${\displaystyle \ln \left(3\right)}$ à potência de ${\displaystyle 1}$.

Eleve ${\displaystyle \ln \left(3\right)}$ à potência de ${\displaystyle 1}$.

Use a regra da multiplicação de potências ${\displaystyle a^m{a}^n=a^{m+n}}$ para combinar expoentes.

Some ${\displaystyle 1}$ e ${\displaystyle 1}$.

Como ${\displaystyle \frac{10}{3}}$ é constante em relação a ${\displaystyle x}$, a derivada de ${\displaystyle \frac{10}{3x^{\frac{1}{6}}}}$ em relação a ${\displaystyle x}$ é ${\displaystyle \frac{10}{3}\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x^{\frac{1}{6}}}\right]}$.

Reescreva ${\displaystyle \frac{1}{x^{\frac{1}{6}}}}$ como ${\displaystyle {\left(x^{\frac{1}{6}}\right)}^{-1}}$.

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ é ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, em que ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{-1}}$ e ${\displaystyle g\left(x\right)=x^{\frac{1}{6}}}$.

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ é ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, em que ${\displaystyle n=\frac{1}{6}}$.

Multiplique os expoentes em ${\displaystyle {\left(x^{\frac{1}{6}}\right)}^{-2}}$.