Cálculo Exemplos

$f (x) = \tan (4 x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\tan (u)$ em relação a $u$ é $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x$ .

$\sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1)$

Etapa 1.2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.3.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$\sec^{2} (4 x) \cdot 4$

Etapa 1.2.3.2

Mova $4$ para a esquerda de $\sec^{2} (4 x)$ .

$f' (x) = 4 \sec^{2} (4 x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 \sec^{2} (4 x)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sec (4 x)$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sec (4 x)$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sec (4 x)$ .

$4 (2 \sec (4 x) \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])$

Etapa 2.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$8 (\sec (4 x) \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $4 x$ .

$8 \sec (4 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 2.4.2

A derivada de $\sec (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$8 \sec (4 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $4 x$ .

$8 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 2.5

Eleve $\sec (4 x)$ à potência de $1$ .

$8 (\sec^{1} (4 x) \sec (4 x)) (\tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 2.6

Eleve $\sec (4 x)$ à potência de $1$ .

$8 (\sec^{1} (4 x) \sec^{1} (4 x)) (\tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$8 {\sec (4 x)}^{1 + 1} (\tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 2.8

Some $1$ e $1$ .

$8 \sec^{2} (4 x) (\tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 2.9

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \sec^{2} (4 x) \tan (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.10

Multiplique $4$ por $8$ .

$32 \sec^{2} (4 x) \tan (4 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$32 \sec^{2} (4 x) \tan (4 x) \cdot 1$

Etapa 2.12

Multiplique $32$ por $1$ .

$f'' (x) = 32 \sec^{2} (4 x) \tan (4 x)$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

Como $32$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $32 \sec^{2} (4 x) \tan (4 x)$ em relação a $x$ é $32 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x) \tan (4 x)]$ .

$32 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x) \tan (4 x)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sec^{2} (4 x)$ e $g (x) = \tan (4 x)$ .

$32 (\sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\tan (4 x)] + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $4 x$ .

$32 (\sec^{2} (4 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]) + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

Etapa 3.3.2

A derivada de $\tan (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\sec^{2} (u_{1})$ .

$32 (\sec^{2} (4 x) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x]) + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $4 x$ .

$32 (\sec^{2} (4 x) (\sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]) + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

Etapa 3.4

Multiplique $\sec^{2} (4 x)$ por $\sec^{2} (4 x)$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.1

Mova $\sec^{2} (4 x)$ .

$32 (\sec^{2} (4 x) \sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

Etapa 3.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$32 ({\sec (4 x)}^{2 + 2} \frac{d}{d x} [4 x] + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

Etapa 3.4.3

Some $2$ e $2$ .

$32 (\sec^{4} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

Etapa 3.5

Diferencie.

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Etapa 3.5.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$32 (\sec^{4} (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x]) + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

Etapa 3.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$32 (\sec^{4} (4 x) (4 \cdot 1) + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

Etapa 3.5.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.5.3.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$32 (\sec^{4} (4 x) \cdot 4 + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

Etapa 3.5.3.2

Mova $4$ para a esquerda de $\sec^{4} (4 x)$ .

$32 (4 \cdot \sec^{4} (4 x) + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sec (4 x)$ .

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Etapa 3.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\sec (4 x)$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + \tan (4 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]))$

Etapa 3.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + \tan (4 x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]))$

Etapa 3.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sec (4 x)$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + \tan (4 x) (2 \sec (4 x) \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]))$

Etapa 3.7

Mova $2$ para a esquerda de $\tan (4 x)$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 \cdot \tan (4 x) \sec (4 x) \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 3.8.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $4 x$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 \tan (4 x) \sec (4 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d x} [4 x]))$

Etapa 3.8.2

A derivada de $\sec (u_{3})$ em relação a $u_{3}$ é $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 \tan (4 x) \sec (4 x) (\sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d x} [4 x]))$

Etapa 3.8.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $4 x$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 \tan (4 x) \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]))$

Etapa 3.9

Eleve $\tan (4 x)$ à potência de $1$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 (\tan^{1} (4 x) \tan (4 x)) \sec (4 x) (\sec (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]))$

Etapa 3.10

Eleve $\tan (4 x)$ à potência de $1$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 (\tan^{1} (4 x) \tan^{1} (4 x)) \sec (4 x) (\sec (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]))$

Etapa 3.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 {\tan (4 x)}^{1 + 1} \sec (4 x) (\sec (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]))$

Etapa 3.12

Some $1$ e $1$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 \tan^{2} (4 x) \sec (4 x) (\sec (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]))$

Etapa 3.13

Eleve $\sec (4 x)$ à potência de $1$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 \tan^{2} (4 x) (\sec^{1} (4 x) \sec (4 x)) \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 3.14

Eleve $\sec (4 x)$ à potência de $1$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 \tan^{2} (4 x) (\sec^{1} (4 x) \sec^{1} (4 x)) \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 3.15

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 \tan^{2} (4 x) {\sec (4 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 3.16

Some $1$ e $1$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 \tan^{2} (4 x) \sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 3.17

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 \tan^{2} (4 x) \sec^{2} (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 3.18

Multiplique $4$ por $2$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 8 \tan^{2} (4 x) \sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.19

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 8 \tan^{2} (4 x) \sec^{2} (4 x) \cdot 1)$

Etapa 3.20

Multiplique $8$ por $1$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 8 \tan^{2} (4 x) \sec^{2} (4 x))$

Etapa 3.21

Simplifique.

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Etapa 3.21.1

Aplique a propriedade distributiva.

$32 (4 \sec^{4} (4 x)) + 32 (8 \tan^{2} (4 x) \sec^{2} (4 x))$

Etapa 3.21.2

Combine os termos.

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Etapa 3.21.2.1

Multiplique $4$ por $32$ .

$128 \sec^{4} (4 x) + 32 (8 \tan^{2} (4 x) \sec^{2} (4 x))$

Etapa 3.21.2.2

Multiplique $8$ por $32$ .

$128 \sec^{4} (4 x) + 256 \tan^{2} (4 x) \sec^{2} (4 x)$

Etapa 3.21.3

Reordene os termos.

$f''' (x) = 256 \sec^{2} (4 x) \tan^{2} (4 x) + 128 \sec^{4} (4 x)$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $256 \sec^{2} (4 x) \tan^{2} (4 x) + 128 \sec^{4} (4 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [256 \sec^{2} (4 x) \tan^{2} (4 x)] + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [256 \sec^{2} (4 x) \tan^{2} (4 x)] + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Etapa 4.2

Avalie $\frac{d}{d x} [256 \sec^{2} (4 x) \tan^{2} (4 x)]$ .

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Etapa 4.2.1

Como $256$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $256 \sec^{2} (4 x) \tan^{2} (4 x)$ em relação a $x$ é $256 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x) \tan^{2} (4 x)]$ .

$256 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x) \tan^{2} (4 x)] + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Etapa 4.2.2

$256 (\sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (4 x)] + \tan^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Etapa 4.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \tan (4 x)$ .

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Etapa 4.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\tan (4 x)$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (4 x)]) + \tan^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Etapa 4.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (4 x)]) + \tan^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Etapa 4.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\tan (4 x)$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\tan (4 x)]) + \tan^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Etapa 4.2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 4.2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $4 x$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])) + \tan^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Etapa 4.2.4.2

A derivada de $\tan (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\sec^{2} (u_{2})$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])) + \tan^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Etapa 4.2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $4 x$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])) + \tan^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Etapa 4.2.5

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x]))) + \tan^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Etapa 4.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1))) + \tan^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Etapa 4.2.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sec (4 x)$ .

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Etapa 4.2.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $\sec (4 x)$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1))) + \tan^{2} (4 x) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Etapa 4.2.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ é $n {u_{3}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1))) + \tan^{2} (4 x) (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Etapa 4.2.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $\sec (4 x)$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1))) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Etapa 4.2.8

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 4.2.8.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{4}$ como $4 x$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1))) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\frac{d}{d u_{4}} [\sec (u_{4})] \frac{d}{d x} [4 x]))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Etapa 4.2.8.2

A derivada de $\sec (u_{4})$ em relação a $u_{4}$ é $\sec (u_{4}) \tan (u_{4})$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1))) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (u_{4}) \tan (u_{4}) \frac{d}{d x} [4 x]))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Etapa 4.2.8.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{4}$ por $4 x$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1))) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Etapa 4.2.9

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1))) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Etapa 4.2.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1))) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Etapa 4.2.11

Multiplique $4$ por $1$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) \cdot 4)) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Etapa 4.2.12

Mova $4$ para a esquerda de $\sec^{2} (4 x)$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (4 \cdot \sec^{2} (4 x))) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Etapa 4.2.13

Multiplique $4$ por $2$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (8 \tan (4 x) \sec^{2} (4 x)) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Etapa 4.2.14

Multiplique $\sec^{2} (4 x)$ por $\sec^{2} (4 x)$ somando os expoentes.

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Etapa 4.2.14.1

Mova $\sec^{2} (4 x)$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) \sec^{2} (4 x) (8 \tan (4 x)) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Etapa 4.2.14.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$256 ({\sec (4 x)}^{2 + 2} (8 \tan (4 x)) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Etapa 4.2.14.3

Some $2$ e $2$ .

$256 (\sec^{4} (4 x) (8 \tan (4 x)) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Etapa 4.2.15

Mova $8$ para a esquerda de $\sec^{4} (4 x)$ .

$256 (8 \cdot \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Etapa 4.2.16

Multiplique $4$ por $1$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) \cdot 4))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Etapa 4.2.17

Mova $4$ para a esquerda de $\sec (4 x) \tan (4 x)$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (4 \cdot (\sec (4 x) \tan (4 x))))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Etapa 4.2.18

Multiplique $4$ por $2$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan^{2} (4 x) (8 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Etapa 4.2.19

Eleve $\sec (4 x)$ à potência de $1$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan^{2} (4 x) (8 (\sec^{1} (4 x) \sec (4 x)) \tan (4 x))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Etapa 4.2.20

Eleve $\sec (4 x)$ à potência de $1$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan^{2} (4 x) (8 (\sec^{1} (4 x) \sec^{1} (4 x)) \tan (4 x))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Etapa 4.2.21

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan^{2} (4 x) (8 {\sec (4 x)}^{1 + 1} \tan (4 x))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Etapa 4.2.22

Some $1$ e $1$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan^{2} (4 x) (8 \sec^{2} (4 x) \tan (4 x))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Etapa 4.2.23

Multiplique $\tan^{2} (4 x)$ por $\tan (4 x)$ somando os expoentes.

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Etapa 4.2.23.1

Mova $\tan (4 x)$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan (4 x) \tan^{2} (4 x) (8 \sec^{2} (4 x))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Etapa 4.2.23.2

Multiplique $\tan (4 x)$ por $\tan^{2} (4 x)$ .

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Etapa 4.2.23.2.1

Eleve $\tan (4 x)$ à potência de $1$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan^{1} (4 x) \tan^{2} (4 x) (8 \sec^{2} (4 x))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Etapa 4.2.23.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + {\tan (4 x)}^{1 + 2} (8 \sec^{2} (4 x))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Etapa 4.2.23.3

Some $1$ e $2$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan^{3} (4 x) (8 \sec^{2} (4 x))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Etapa 4.2.24

Mova $8$ para a esquerda de $\tan^{3} (4 x)$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Etapa 4.3

Avalie $\frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$ .

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Etapa 4.3.1

Como $128$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $128 \sec^{4} (4 x)$ em relação a $x$ é $128 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (4 x)]$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (4 x)]$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \sec (4 x)$ .

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Etapa 4.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{5}$ como $\sec (4 x)$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])$

Etapa 4.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{n}]$ é $n {u_{5}}^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (4 {u_{5}}^{3} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])$

Etapa 4.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{5}$ por $\sec (4 x)$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (4 \sec^{3} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])$

Etapa 4.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 4.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{6}$ como $4 x$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (4 \sec^{3} (4 x) (\frac{d}{d u_{6}} [\sec (u_{6})] \frac{d}{d x} [4 x]))$

Etapa 4.3.3.2

A derivada de $\sec (u_{6})$ em relação a $u_{6}$ é $\sec (u_{6}) \tan (u_{6})$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (4 \sec^{3} (4 x) (\sec (u_{6}) \tan (u_{6}) \frac{d}{d x} [4 x]))$

Etapa 4.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{6}$ por $4 x$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (4 \sec^{3} (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]))$

Etapa 4.3.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (4 \sec^{3} (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])))$

Etapa 4.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (4 \sec^{3} (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1)))$

Etapa 4.3.6

Multiplique $4$ por $1$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (4 \sec^{3} (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) \cdot 4))$

Etapa 4.3.7

Mova $4$ para a esquerda de $\sec (4 x) \tan (4 x)$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (4 \sec^{3} (4 x) (4 \cdot (\sec (4 x) \tan (4 x))))$

Etapa 4.3.8

Multiplique $4$ por $4$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (16 \sec^{3} (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x)))$

Etapa 4.3.9

Eleve $\sec (4 x)$ à potência de $1$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (16 (\sec^{1} (4 x) \sec^{3} (4 x)) \tan (4 x))$

Etapa 4.3.10

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (16 {\sec (4 x)}^{1 + 3} \tan (4 x))$

Etapa 4.3.11

Some $1$ e $3$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (16 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x))$

Etapa 4.3.12

Multiplique $16$ por $128$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 2048 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x)$

Etapa 4.4

Simplifique.

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Etapa 4.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x)) + 256 (8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 2048 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x)$

Etapa 4.4.2

Combine os termos.

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Etapa 4.4.2.1

Multiplique $8$ por $256$ .

$2048 (\sec^{4} (4 x) \tan (4 x)) + 256 (8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 2048 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x)$

Etapa 4.4.2.2

Multiplique $8$ por $256$ .

$2048 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 2048 (\tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 2048 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x)$

Etapa 4.4.2.3

Some $2048 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x)$ e $2048 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x)$ .

$f^{4} (x) = 4096 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 2048 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)$

Etapa 5

A quarta derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4096 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 2048 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)$ .

$4096 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 2048 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)$