Cálculo Exemplos

$f (t) = \frac{8}{2 t + 16}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Cancele o fator comum de $8$ e $2 t + 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{2 \cdot 4}{2 t + 16}]$

Etapa 1.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Fatore $2$ de $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{2 \cdot 4}{2 (t) + 16}]$

Etapa 1.1.1.2.2

Fatore $2$ de $16$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{2 \cdot 4}{2 (t) + 2 (8)}]$

Etapa 1.1.1.2.3

Fatore $2$ de $2 (t) + 2 (8)$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{2 \cdot 4}{2 (t + 8)}]$

Etapa 1.1.1.2.4

Cancele o fator comum.

$\frac{d}{d t} [\frac{2 \cdot 4}{2 (t + 8)}]$

Etapa 1.1.1.2.5

Reescreva a expressão.

$\frac{d}{d t} [\frac{4}{t + 8}]$

Etapa 1.1.2

Como $4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{4}{t + 8}$ em relação a $t$ é $4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t + 8}]$ .

$4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t + 8}]$

Etapa 1.1.3

Reescreva $\frac{1}{t + 8}$ como ${(t + 8)}^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d t} [{(t + 8)}^{- 1}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = t + 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $t + 8$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t + 8])$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$4 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t + 8])$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t + 8$ .

$4 (- {(t + 8)}^{- 2} \frac{d}{d t} [t + 8])$

Etapa 1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- 4 ({(t + 8)}^{- 2} \frac{d}{d t} [t + 8])$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t + 8$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [8]$ .

$- 4 {(t + 8)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [8])$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 4 {(t + 8)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d t} [8])$

Etapa 1.3.4

Como $8$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $8$ em relação a $t$ é $0$ .

$- 4 {(t + 8)}^{- 2} (1 + 0)$

Etapa 1.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.1

Some $1$ e $0$ .

$- 4 {(t + 8)}^{- 2} \cdot 1$

Etapa 1.3.5.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$- 4 {(t + 8)}^{- 2}$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{{(t + 8)}^{2}}$

Etapa 1.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Combine $- 4$ e $\frac{1}{{(t + 8)}^{2}}$ .

$\frac{- 4}{{(t + 8)}^{2}}$

Etapa 1.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (t) = - \frac{4}{{(t + 8)}^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Como $- 4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- \frac{4}{{(t + 8)}^{2}}$ em relação a $t$ é $- 4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t + 8)}^{2}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t + 8)}^{2}}]$

Etapa 2.1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{{(t + 8)}^{2}}$ como ${({(t + 8)}^{2})}^{- 1}$ .

$- 4 \frac{d}{d t} [{({(t + 8)}^{2})}^{- 1}]$

Etapa 2.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(t + 8)}^{2})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \frac{d}{d t} [{(t + 8)}^{2 \cdot - 1}]$

Etapa 2.1.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 4 \frac{d}{d t} [{(t + 8)}^{- 2}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{- 2}$ e $g (t) = t + 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $t + 8$ .

$- 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d t} [t + 8])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$- 4 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d t} [t + 8])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t + 8$ .

$- 4 (- 2 {(t + 8)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t + 8])$

Etapa 2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$8 ({(t + 8)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t + 8])$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t + 8$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [8]$ .

$8 {(t + 8)}^{- 3} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [8])$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$8 {(t + 8)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d t} [8])$

Etapa 2.3.4

Como $8$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $8$ em relação a $t$ é $0$ .

$8 {(t + 8)}^{- 3} (1 + 0)$

Etapa 2.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Some $1$ e $0$ .

$8 {(t + 8)}^{- 3} \cdot 1$

Etapa 2.3.5.2

Multiplique $8$ por $1$ .

$8 {(t + 8)}^{- 3}$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 \frac{1}{{(t + 8)}^{3}}$

Etapa 2.4.2

Combine $8$ e $\frac{1}{{(t + 8)}^{3}}$ .

$f'' (t) = \frac{8}{{(t + 8)}^{3}}$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Como $8$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{8}{{(t + 8)}^{3}}$ em relação a $t$ é $8 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t + 8)}^{3}}]$ .

$8 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t + 8)}^{3}}]$

Etapa 3.1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{{(t + 8)}^{3}}$ como ${({(t + 8)}^{3})}^{- 1}$ .

$8 \frac{d}{d t} [{({(t + 8)}^{3})}^{- 1}]$

Etapa 3.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(t + 8)}^{3})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \frac{d}{d t} [{(t + 8)}^{3 \cdot - 1}]$

Etapa 3.1.2.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$8 \frac{d}{d t} [{(t + 8)}^{- 3}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{- 3}$ e $g (t) = t + 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $t + 8$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d t} [t + 8])$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 3$ .

$8 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d t} [t + 8])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t + 8$ .

$8 (- 3 {(t + 8)}^{- 4} \frac{d}{d t} [t + 8])$

Etapa 3.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Multiplique $- 3$ por $8$ .

$- 24 ({(t + 8)}^{- 4} \frac{d}{d t} [t + 8])$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t + 8$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [8]$ .

$- 24 {(t + 8)}^{- 4} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [8])$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 24 {(t + 8)}^{- 4} (1 + \frac{d}{d t} [8])$

Etapa 3.3.4

Como $8$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $8$ em relação a $t$ é $0$ .

$- 24 {(t + 8)}^{- 4} (1 + 0)$

Etapa 3.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.1

Some $1$ e $0$ .

$- 24 {(t + 8)}^{- 4} \cdot 1$

Etapa 3.3.5.2

Multiplique $- 24$ por $1$ .

$- 24 {(t + 8)}^{- 4}$

Etapa 3.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 24 \frac{1}{{(t + 8)}^{4}}$

Etapa 3.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Combine $- 24$ e $\frac{1}{{(t + 8)}^{4}}$ .

$\frac{- 24}{{(t + 8)}^{4}}$

Etapa 3.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f''' (t) = - \frac{24}{{(t + 8)}^{4}}$

Etapa 4

A terceira derivada de $f (t)$ com relação a $t$ é $- \frac{24}{{(t + 8)}^{4}}$ .

$- \frac{24}{{(t + 8)}^{4}}$