Cálculo Exemplos

$f (x) = (x^{2} + 3) (5 x^{2} - 3)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2} + 3$ e $g (x) = 5 x^{2} - 3$ .

$(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3] + (5 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{2} - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (5 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Etapa 1.2.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(x^{2} + 3) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (5 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(x^{2} + 3) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]) + (5 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Etapa 1.2.4

Multiplique $2$ por $5$ .

$(x^{2} + 3) (10 x + \frac{d}{d x} [- 3]) + (5 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Etapa 1.2.5

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x^{2} + 3) (10 x + 0) + (5 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Etapa 1.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.6.1

Some $10 x$ e $0$ .

$(x^{2} + 3) (10 x) + (5 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Etapa 1.2.6.2

Mova $10$ para a esquerda de $x^{2} + 3$ .

$10 \cdot (x^{2} + 3) x + (5 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Etapa 1.2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$10 (x^{2} + 3) x + (5 x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 1.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$10 (x^{2} + 3) x + (5 x^{2} - 3) (2 x + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 1.2.9

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$10 (x^{2} + 3) x + (5 x^{2} - 3) (2 x + 0)$

Etapa 1.2.10

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.10.1

Some $2 x$ e $0$ .

$10 (x^{2} + 3) x + (5 x^{2} - 3) (2 x)$

Etapa 1.2.10.2

Mova $2$ para a esquerda de $5 x^{2} - 3$ .

$10 (x^{2} + 3) x + 2 \cdot (5 x^{2} - 3) x$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(10 x^{2} + 10 \cdot 3) x + 2 (5 x^{2} - 3) x$

Etapa 1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$10 x^{2} x + 10 \cdot 3 x + 2 (5 x^{2} - 3) x$

Etapa 1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$10 x^{2} x + 10 \cdot 3 x + (2 (5 x^{2}) + 2 \cdot - 3) x$

Etapa 1.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$10 x^{2} x + 10 \cdot 3 x + 2 (5 x^{2}) x + 2 \cdot - 3 x$

Etapa 1.3.5

Combine os termos.

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Etapa 1.3.5.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$10 (x^{1} x^{2}) + 10 \cdot 3 x + 2 (5 x^{2}) x + 2 \cdot - 3 x$

Etapa 1.3.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$10 x^{1 + 2} + 10 \cdot 3 x + 2 (5 x^{2}) x + 2 \cdot - 3 x$

Etapa 1.3.5.3

Some $1$ e $2$ .

$10 x^{3} + 10 \cdot 3 x + 2 (5 x^{2}) x + 2 \cdot - 3 x$

Etapa 1.3.5.4

Multiplique $10$ por $3$ .

$10 x^{3} + 30 x + 2 (5 x^{2}) x + 2 \cdot - 3 x$

Etapa 1.3.5.5

Multiplique $5$ por $2$ .

$10 x^{3} + 30 x + 10 x^{2} x + 2 \cdot - 3 x$

Etapa 1.3.5.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$10 x^{3} + 30 x + 10 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 3 x$

Etapa 1.3.5.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$10 x^{3} + 30 x + 10 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 3 x$

Etapa 1.3.5.8

Some $1$ e $2$ .

$10 x^{3} + 30 x + 10 x^{3} + 2 \cdot - 3 x$

Etapa 1.3.5.9

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$10 x^{3} + 30 x + 10 x^{3} - 6 x$

Etapa 1.3.5.10

Some $10 x^{3}$ e $10 x^{3}$ .

$20 x^{3} + 30 x - 6 x$

Etapa 1.3.5.11

Subtraia $6 x$ de $30 x$ .

$f' (x) = 20 x^{3} + 24 x$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $20 x^{3} + 24 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x]$ .

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $20 x^{3}$ em relação a $x$ é $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [24 x]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $20$ .

$60 x^{2} + \frac{d}{d x} [24 x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $24 x$ em relação a $x$ é $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$60 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$60 x^{2} + 24 \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $24$ por $1$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} + 24$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $60 x^{2} + 24$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24]$ .

$\frac{d}{d x} [60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $60$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $60 x^{2}$ em relação a $x$ é $60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$60 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$60 (2 x) + \frac{d}{d x} [24]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $2$ por $60$ .

$120 x + \frac{d}{d x} [24]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.3.1

Como $24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $24$ em relação a $x$ é $0$ .

$120 x + 0$

Etapa 3.3.2

Some $120 x$ e $0$ .

$f''' (x) = 120 x$

Etapa 4

A terceira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $120 x$ .

$120 x$