Cálculo Exemplos

$f (t) = \frac{7 \ln (t)}{t}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Como $7$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{7 \ln (t)}{t}$ em relação a $t$ é $7 \frac{d}{d t} [\frac{\ln (t)}{t}]$ .

$7 \frac{d}{d t} [\frac{\ln (t)}{t}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = \ln (t)$ e $g (t) = t$ .

$7 \frac{t \frac{d}{d t} [\ln (t)] - \ln (t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Etapa 1.3

A derivada de $\ln (t)$ em relação a $t$ é $\frac{1}{t}$ .

$7 \frac{t \frac{1}{t} - \ln (t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Combine $t$ e $\frac{1}{t}$ .

$7 \frac{\frac{t}{t} - \ln (t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Etapa 1.4.2

Cancele o fator comum de $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Cancele o fator comum.

$7 \frac{\frac{t}{t} - \ln (t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Etapa 1.4.2.2

Reescreva a expressão.

$7 \frac{1 - \ln (t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Etapa 1.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$7 \frac{1 - \ln (t) \cdot 1}{t^{2}}$

Etapa 1.4.4

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$7 \frac{1 - \ln (t)}{t^{2}}$

Etapa 1.4.4.2

Combine $7$ e $\frac{1 - \ln (t)}{t^{2}}$ .

$\frac{7 (1 - \ln (t))}{t^{2}}$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{7 \cdot 1 + 7 (- \ln (t))}{t^{2}}$

Etapa 1.5.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1

Multiplique $7$ por $1$ .

$\frac{7 + 7 (- \ln (t))}{t^{2}}$

Etapa 1.5.2.2

Multiplique $7 (- \ln (t))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.2.1

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$\frac{7 - 7 \ln (t)}{t^{2}}$

Etapa 1.5.2.2.2

Simplifique $- 7 \ln (t)$ movendo $7$ para dentro do logaritmo.

$f' (t) = \frac{7 - \ln (t^{7})}{t^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [7 - \ln (t^{7})] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Multiplique os expoentes em ${(t^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [7 - \ln (t^{7})] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [7 - \ln (t^{7})] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 - \ln (t^{7})$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [7] + \frac{d}{d t} [- \ln (t^{7})]$ .

$\frac{t^{2} (\frac{d}{d t} [7] + \frac{d}{d t} [- \ln (t^{7})]) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Etapa 2.2.3

Como $7$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $7$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{t^{2} (0 + \frac{d}{d t} [- \ln (t^{7})]) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Etapa 2.2.4

Some $0$ e $\frac{d}{d t} [- \ln (t^{7})]$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [- \ln (t^{7})] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Etapa 2.2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- \ln (t^{7})$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [\ln (t^{7})]$ .

$\frac{t^{2} (- \frac{d}{d t} [\ln (t^{7})]) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \ln (t)$ e $g (t) = t^{7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $t^{7}$ .

$\frac{t^{2} (- (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t^{7}])) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{t^{2} (- (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t^{7}])) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t^{7}$ .

$\frac{t^{2} (- (\frac{1}{t^{7}} \frac{d}{d t} [t^{7}])) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Combine $t^{2}$ e $\frac{1}{t^{7}}$ .

$\frac{- \frac{t^{2}}{t^{7}} \frac{d}{d t} [t^{7}] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Etapa 2.4.2

Cancele o fator comum de $t^{2}$ e $t^{7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{- \frac{t^{2} \cdot 1}{t^{7}} \frac{d}{d t} [t^{7}] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Etapa 2.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1

Fatore $t^{2}$ de $t^{7}$ .

$\frac{- \frac{t^{2} \cdot 1}{t^{2} t^{5}} \frac{d}{d t} [t^{7}] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Etapa 2.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- \frac{t^{2} \cdot 1}{t^{2} t^{5}} \frac{d}{d t} [t^{7}] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Etapa 2.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- \frac{1}{t^{5}} \frac{d}{d t} [t^{7}] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Etapa 2.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 7$ .

$\frac{- \frac{1}{t^{5}} (7 t^{6}) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Etapa 2.4.4

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.1

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$\frac{- 7 \frac{1}{t^{5}} t^{6} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Etapa 2.4.4.2

Combine $- 7$ e $\frac{1}{t^{5}}$ .

$\frac{\frac{- 7}{t^{5}} t^{6} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Etapa 2.4.4.3

Combine $\frac{- 7}{t^{5}}$ e $t^{6}$ .

$\frac{\frac{- 7 t^{6}}{t^{5}} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Etapa 2.4.4.4

Cancele o fator comum de $t^{6}$ e $t^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.4.1

Fatore $t^{5}$ de $- 7 t^{6}$ .

$\frac{\frac{t^{5} (- 7 t)}{t^{5}} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Etapa 2.4.4.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.4.2.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{\frac{t^{5} (- 7 t)}{t^{5} \cdot 1} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Etapa 2.4.4.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{t^{5} (- 7 t)}{t^{5} \cdot 1} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Etapa 2.4.4.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{- 7 t}{1} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Etapa 2.4.4.4.2.4

Divida $- 7 t$ por $1$ .

$\frac{- 7 t - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Etapa 2.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{- 7 t - (7 - \ln (t^{7})) (2 t)}{t^{4}}$

Etapa 2.4.6

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 7 t - 2 (7 - \ln (t^{7})) t}{t^{4}}$

Etapa 2.4.6.2

Fatore $t$ de $- 7 t - 2 (7 - \ln (t^{7})) t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.2.1

Fatore $t$ de $- 7 t$ .

$\frac{t \cdot - 7 - 2 (7 - \ln (t^{7})) t}{t^{4}}$

Etapa 2.4.6.2.2

Fatore $t$ de $- 2 (7 - \ln (t^{7})) t$ .

$\frac{t \cdot - 7 + t (- 2 (7 - \ln (t^{7})))}{t^{4}}$

Etapa 2.4.6.2.3

Fatore $t$ de $t \cdot - 7 + t (- 2 (7 - \ln (t^{7})))$ .

$\frac{t (- 7 - 2 (7 - \ln (t^{7})))}{t^{4}}$

Etapa 2.5

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Fatore $t$ de $t^{4}$ .

$\frac{t (- 7 - 2 (7 - \ln (t^{7})))}{t \cdot t^{3}}$

Etapa 2.5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{t (- 7 - 2 (7 - \ln (t^{7})))}{t \cdot t^{3}}$

Etapa 2.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 7 - 2 (7 - \ln (t^{7}))}{t^{3}}$

Etapa 2.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 7 - 2 \cdot 7 - 2 (- \ln (t^{7}))}{t^{3}}$

Etapa 2.6.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1.1

Multiplique $- 2$ por $7$ .

$\frac{- 7 - 14 - 2 (- \ln (t^{7}))}{t^{3}}$

Etapa 2.6.2.1.2

Multiplique $- 2 (- \ln (t^{7}))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 7 - 14 + 2 \ln (t^{7})}{t^{3}}$

Etapa 2.6.2.1.2.2

Simplifique $2 \ln (t^{7})$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{- 7 - 14 + \ln ({(t^{7})}^{2})}{t^{3}}$

Etapa 2.6.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${(t^{7})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 7 - 14 + \ln (t^{7 \cdot 2})}{t^{3}}$

Etapa 2.6.2.1.3.2

Multiplique $7$ por $2$ .

$\frac{- 7 - 14 + \ln (t^{14})}{t^{3}}$

Etapa 2.6.2.2

Subtraia $14$ de $- 7$ .

$\frac{- 21 + \ln (t^{14})}{t^{3}}$

Etapa 2.6.3

Reescreva $- 21$ como $- 1 (21)$ .

$\frac{- 1 (21) + \ln (t^{14})}{t^{3}}$

Etapa 2.6.4

Fatore $- 1$ de $\ln (t^{14})$ .

$\frac{- 1 (21) - 1 (- \ln (t^{14}))}{t^{3}}$

Etapa 2.6.5

Fatore $- 1$ de $- 1 (21) - 1 (- \ln (t^{14}))$ .

$\frac{- 1 (21 - \ln (t^{14}))}{t^{3}}$

Etapa 2.6.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (t) = - \frac{21 - \ln (t^{14})}{t^{3}}$

Etapa 3

A segunda derivada de $f (t)$ com relação a $t$ é $- \frac{21 - \ln (t^{14})}{t^{3}}$ .

$- \frac{21 - \ln (t^{14})}{t^{3}}$