Cálculo Exemplos

$f (r) = r {(4 r + 9)}^{3}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ é $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ , em que $f (r) = r$ e $g (r) = {(4 r + 9)}^{3}$ .

$r \frac{d}{d r} [{(4 r + 9)}^{3}] + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ é $f' (g (r)) g' (r)$ , em que $f (r) = r^{3}$ e $g (r) = 4 r + 9$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 r + 9$ .

$r (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d r} [4 r + 9]) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$r (3 u^{2} \frac{d}{d r} [4 r + 9]) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 r + 9$ .

$r (3 {(4 r + 9)}^{2} \frac{d}{d r} [4 r + 9]) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 r + 9$ com relação a $r$ é $\frac{d}{d r} [4 r] + \frac{d}{d r} [9]$ .

$r (3 {(4 r + 9)}^{2} (\frac{d}{d r} [4 r] + \frac{d}{d r} [9])) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Etapa 1.3.2

Como $4$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $4 r$ em relação a $r$ é $4 \frac{d}{d r} [r]$ .

$r (3 {(4 r + 9)}^{2} (4 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [9])) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ é $n r^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$r (3 {(4 r + 9)}^{2} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [9])) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Etapa 1.3.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$r (3 {(4 r + 9)}^{2} (4 + \frac{d}{d r} [9])) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Etapa 1.3.5

Como $9$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $9$ em relação a $r$ é $0$ .

$r (3 {(4 r + 9)}^{2} (4 + 0)) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Etapa 1.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.6.1

Some $4$ e $0$ .

$r (3 {(4 r + 9)}^{2} \cdot 4) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Etapa 1.3.6.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$r (12 {(4 r + 9)}^{2}) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ é $n r^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$r (12 {(4 r + 9)}^{2}) + {(4 r + 9)}^{3} \cdot 1$

Etapa 1.3.8

Multiplique ${(4 r + 9)}^{3}$ por $1$ .

$r (12 {(4 r + 9)}^{2}) + {(4 r + 9)}^{3}$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Fatore ${(4 r + 9)}^{2}$ de $r (12 {(4 r + 9)}^{2}) + {(4 r + 9)}^{3}$ .

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Etapa 1.4.1.1

Fatore ${(4 r + 9)}^{2}$ de $r (12 {(4 r + 9)}^{2})$ .

${(4 r + 9)}^{2} (r \cdot (12)) + {(4 r + 9)}^{3}$

Etapa 1.4.1.2

Fatore ${(4 r + 9)}^{2}$ de ${(4 r + 9)}^{3}$ .

${(4 r + 9)}^{2} (r \cdot (12)) + {(4 r + 9)}^{2} (4 r + 9)$

Etapa 1.4.1.3

Fatore ${(4 r + 9)}^{2}$ de ${(4 r + 9)}^{2} (r \cdot (12)) + {(4 r + 9)}^{2} (4 r + 9)$ .

${(4 r + 9)}^{2} (r \cdot (12) + 4 r + 9)$

Etapa 1.4.2

Combine os termos.

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Etapa 1.4.2.1

Mova $12$ para a esquerda de $r$ .

${(4 r + 9)}^{2} (12 \cdot r + 4 r + 9)$

Etapa 1.4.2.2

Some $12 r$ e $4 r$ .

$f' (r) = {(4 r + 9)}^{2} (16 r + 9)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Reescreva ${(4 r + 9)}^{2}$ como $(4 r + 9) (4 r + 9)$ .

$\frac{d}{d r} [(4 r + 9) (4 r + 9) (16 r + 9)]$

Etapa 2.2

Expanda $(4 r + 9) (4 r + 9)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d r} [(4 r (4 r + 9) + 9 (4 r + 9)) (16 r + 9)]$

Etapa 2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d r} [(4 r (4 r) + 4 r \cdot 9 + 9 (4 r + 9)) (16 r + 9)]$

Etapa 2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d r} [(4 r (4 r) + 4 r \cdot 9 + 9 (4 r) + 9 \cdot 9) (16 r + 9)]$

Etapa 2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d}{d r} [(4 \cdot 4 r \cdot r + 4 r \cdot 9 + 9 (4 r) + 9 \cdot 9) (16 r + 9)]$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $r$ por $r$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.1.2.1

Mova $r$ .

$\frac{d}{d r} [(4 \cdot 4 (r \cdot r) + 4 r \cdot 9 + 9 (4 r) + 9 \cdot 9) (16 r + 9)]$

Etapa 2.3.1.2.2

Multiplique $r$ por $r$ .

$\frac{d}{d r} [(4 \cdot 4 r^{2} + 4 r \cdot 9 + 9 (4 r) + 9 \cdot 9) (16 r + 9)]$

Etapa 2.3.1.3

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{d}{d r} [(16 r^{2} + 4 r \cdot 9 + 9 (4 r) + 9 \cdot 9) (16 r + 9)]$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $9$ por $4$ .

$\frac{d}{d r} [(16 r^{2} + 36 r + 9 (4 r) + 9 \cdot 9) (16 r + 9)]$

Etapa 2.3.1.5

Multiplique $4$ por $9$ .

$\frac{d}{d r} [(16 r^{2} + 36 r + 36 r + 9 \cdot 9) (16 r + 9)]$

Etapa 2.3.1.6

Multiplique $9$ por $9$ .

$\frac{d}{d r} [(16 r^{2} + 36 r + 36 r + 81) (16 r + 9)]$

Etapa 2.3.2

Some $36 r$ e $36 r$ .

$\frac{d}{d r} [(16 r^{2} + 72 r + 81) (16 r + 9)]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ é $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ , em que $f (r) = 16 r^{2} + 72 r + 81$ e $g (r) = 16 r + 9$ .

$(16 r^{2} + 72 r + 81) \frac{d}{d r} [16 r + 9] + (16 r + 9) \frac{d}{d r} [16 r^{2} + 72 r + 81]$

Etapa 2.5

Diferencie.

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Etapa 2.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $16 r + 9$ com relação a $r$ é $\frac{d}{d r} [16 r] + \frac{d}{d r} [9]$ .

$(16 r^{2} + 72 r + 81) (\frac{d}{d r} [16 r] + \frac{d}{d r} [9]) + (16 r + 9) \frac{d}{d r} [16 r^{2} + 72 r + 81]$

Etapa 2.5.2

Como $16$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $16 r$ em relação a $r$ é $16 \frac{d}{d r} [r]$ .

$(16 r^{2} + 72 r + 81) (16 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [9]) + (16 r + 9) \frac{d}{d r} [16 r^{2} + 72 r + 81]$

Etapa 2.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ é $n r^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(16 r^{2} + 72 r + 81) (16 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [9]) + (16 r + 9) \frac{d}{d r} [16 r^{2} + 72 r + 81]$

Etapa 2.5.4

Multiplique $16$ por $1$ .

$(16 r^{2} + 72 r + 81) (16 + \frac{d}{d r} [9]) + (16 r + 9) \frac{d}{d r} [16 r^{2} + 72 r + 81]$

Etapa 2.5.5

Como $9$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $9$ em relação a $r$ é $0$ .

$(16 r^{2} + 72 r + 81) (16 + 0) + (16 r + 9) \frac{d}{d r} [16 r^{2} + 72 r + 81]$

Etapa 2.5.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.5.6.1

Some $16$ e $0$ .

$(16 r^{2} + 72 r + 81) \cdot 16 + (16 r + 9) \frac{d}{d r} [16 r^{2} + 72 r + 81]$

Etapa 2.5.6.2

Mova $16$ para a esquerda de $16 r^{2} + 72 r + 81$ .

$16 \cdot (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) \frac{d}{d r} [16 r^{2} + 72 r + 81]$

Etapa 2.5.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $16 r^{2} + 72 r + 81$ com relação a $r$ é $\frac{d}{d r} [16 r^{2}] + \frac{d}{d r} [72 r] + \frac{d}{d r} [81]$ .

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (\frac{d}{d r} [16 r^{2}] + \frac{d}{d r} [72 r] + \frac{d}{d r} [81])$

Etapa 2.5.8

Como $16$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $16 r^{2}$ em relação a $r$ é $16 \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (16 \frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [72 r] + \frac{d}{d r} [81])$

Etapa 2.5.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ é $n r^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (16 (2 r) + \frac{d}{d r} [72 r] + \frac{d}{d r} [81])$

Etapa 2.5.10

Multiplique $2$ por $16$ .

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (32 r + \frac{d}{d r} [72 r] + \frac{d}{d r} [81])$

Etapa 2.5.11

Como $72$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $72 r$ em relação a $r$ é $72 \frac{d}{d r} [r]$ .

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (32 r + 72 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [81])$

Etapa 2.5.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ é $n r^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (32 r + 72 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [81])$

Etapa 2.5.13

Multiplique $72$ por $1$ .

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (32 r + 72 + \frac{d}{d r} [81])$

Etapa 2.5.14

Como $81$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $81$ em relação a $r$ é $0$ .

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (32 r + 72 + 0)$

Etapa 2.5.15

Some $32 r + 72$ e $0$ .

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (32 r + 72)$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$16 (16 r^{2}) + 16 (72 r) + 16 \cdot 81 + (16 r + 9) (32 r + 72)$

Etapa 2.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$16 (16 r^{2}) + 16 (72 r) + 16 \cdot 81 + (16 r + 9) (32 r) + (16 r + 9) \cdot 72$

Etapa 2.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$16 (16 r^{2}) + 16 (72 r) + 16 \cdot 81 + 16 r (32 r) + 9 (32 r) + (16 r + 9) \cdot 72$

Etapa 2.6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$16 (16 r^{2}) + 16 (72 r) + 16 \cdot 81 + 16 r (32 r) + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

Etapa 2.6.5

Combine os termos.

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Etapa 2.6.5.1

Multiplique $16$ por $16$ .

$256 r^{2} + 16 (72 r) + 16 \cdot 81 + 16 r (32 r) + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

Etapa 2.6.5.2

Multiplique $72$ por $16$ .

$256 r^{2} + 1152 r + 16 \cdot 81 + 16 r (32 r) + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

Etapa 2.6.5.3

Multiplique $16$ por $81$ .

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 16 r (32 r) + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

Etapa 2.6.5.4

Multiplique $32$ por $16$ .

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 r \cdot r + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

Etapa 2.6.5.5

Eleve $r$ à potência de $1$ .

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 (r^{1} r) + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

Etapa 2.6.5.6

Eleve $r$ à potência de $1$ .

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 (r^{1} r^{1}) + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

Etapa 2.6.5.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 r^{1 + 1} + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

Etapa 2.6.5.8

Some $1$ e $1$ .

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 r^{2} + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

Etapa 2.6.5.9

Multiplique $32$ por $9$ .

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 r^{2} + 288 r + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

Etapa 2.6.5.10

Multiplique $72$ por $16$ .

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 r^{2} + 288 r + 1152 r + 9 \cdot 72$

Etapa 2.6.5.11

Multiplique $9$ por $72$ .

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 r^{2} + 288 r + 1152 r + 648$

Etapa 2.6.5.12

Some $288 r$ e $1152 r$ .

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 r^{2} + 1440 r + 648$

Etapa 2.6.5.13

Some $256 r^{2}$ e $512 r^{2}$ .

$768 r^{2} + 1152 r + 1296 + 1440 r + 648$

Etapa 2.6.5.14

Some $1152 r$ e $1440 r$ .

$768 r^{2} + 2592 r + 1296 + 648$

Etapa 2.6.5.15

Some $1296$ e $648$ .

$f'' (r) = 768 r^{2} + 2592 r + 1944$

Etapa 3

A segunda derivada de $f (r)$ com relação a $r$ é $768 r^{2} + 2592 r + 1944$ .

$768 r^{2} + 2592 r + 1944$