Cálculo Exemplos

$V (r) = k (13 r^{2} - r^{3})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Como $k$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $k (13 r^{2} - r^{3})$ em relação a $r$ é $k \frac{d}{d r} [13 r^{2} - r^{3}]$ .

$k \frac{d}{d r} [13 r^{2} - r^{3}]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $13 r^{2} - r^{3}$ com relação a $r$ é $\frac{d}{d r} [13 r^{2}] + \frac{d}{d r} [- r^{3}]$ .

$k (\frac{d}{d r} [13 r^{2}] + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Etapa 1.3

Como $13$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $13 r^{2}$ em relação a $r$ é $13 \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$k (13 \frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ é $n r^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$k (13 (2 r) + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Etapa 1.5

Multiplique $2$ por $13$ .

$k (26 r + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Etapa 1.6

Como $- 1$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $- r^{3}$ em relação a $r$ é $- \frac{d}{d r} [r^{3}]$ .

$k (26 r - \frac{d}{d r} [r^{3}])$

Etapa 1.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ é $n r^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$k (26 r - (3 r^{2}))$

Etapa 1.8

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$k (26 r - 3 r^{2})$

Etapa 1.9

Simplifique.

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Etapa 1.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$k (26 r) + k (- 3 r^{2})$

Etapa 1.9.2

Mova $26$ para a esquerda de $k$ .

$26 k r + k (- 3 r^{2})$

Etapa 1.9.3

Reordene os termos.

$f' (r) = 26 k r - 3 r^{2} k$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $26 k r - 3 r^{2} k$ com relação a $r$ é $\frac{d}{d r} [26 k r] + \frac{d}{d r} [- 3 r^{2} k]$ .

$\frac{d}{d r} [26 k r] + \frac{d}{d r} [- 3 r^{2} k]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d r} [26 k r]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $26 k$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $26 k r$ em relação a $r$ é $26 k \frac{d}{d r} [r]$ .

$26 k \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [- 3 r^{2} k]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ é $n r^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$26 k \cdot 1 + \frac{d}{d r} [- 3 r^{2} k]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $26$ por $1$ .

$26 k + \frac{d}{d r} [- 3 r^{2} k]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d r} [- 3 r^{2} k]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 3 k$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $- 3 r^{2} k$ em relação a $r$ é $- 3 k \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$26 k - 3 k \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ é $n r^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$26 k - 3 k (2 r)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$26 k - 6 k r$

Etapa 2.4

Reordene os termos.

$f'' (r) = - 6 k r + 26 k$

Etapa 3

A segunda derivada de $V (r)$ com relação a $r$ é $- 6 k r + 26 k$ .

$- 6 k r + 26 k$