Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1 - 8 x}{8 - 6 x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1 - 8 x$ e $g (x) = 8 - 6 x$ .

$\frac{(8 - 6 x) \frac{d}{d x} [1 - 8 x] - (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [8 - 6 x]}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Etapa 1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - 8 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$\frac{(8 - 6 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 8 x]) - (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [8 - 6 x]}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Etapa 1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(8 - 6 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 8 x]) - (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [8 - 6 x]}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Etapa 1.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$\frac{(8 - 6 x) \frac{d}{d x} [- 8 x] - (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [8 - 6 x]}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Etapa 1.2.4

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(8 - 6 x) (- 8 \frac{d}{d x} [x]) - (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [8 - 6 x]}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Etapa 1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(8 - 6 x) (- 8 \cdot 1) - (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [8 - 6 x]}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Etapa 1.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.6.1

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$\frac{(8 - 6 x) \cdot - 8 - (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [8 - 6 x]}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Etapa 1.2.6.2

Mova $- 8$ para a esquerda de $8 - 6 x$ .

$\frac{- 8 \cdot (8 - 6 x) - (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [8 - 6 x]}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Etapa 1.2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 - 6 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{- 8 (8 - 6 x) - (1 - 8 x) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 6 x])}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Etapa 1.2.8

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{- 8 (8 - 6 x) - (1 - 8 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 6 x])}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Etapa 1.2.9

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{- 8 (8 - 6 x) - (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [- 6 x]}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Etapa 1.2.10

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{- 8 (8 - 6 x) - (1 - 8 x) (- 6 \frac{d}{d x} [x])}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Etapa 1.2.11

Multiplique $- 6$ por $- 1$ .

$\frac{- 8 (8 - 6 x) + 6 (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [x]}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Etapa 1.2.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{- 8 (8 - 6 x) + 6 (1 - 8 x) \cdot 1}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Etapa 1.2.13

Multiplique $6$ por $1$ .

$\frac{- 8 (8 - 6 x) + 6 (1 - 8 x)}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 8 \cdot 8 - 8 (- 6 x) + 6 (1 - 8 x)}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Etapa 1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 8 \cdot 8 - 8 (- 6 x) + 6 \cdot 1 + 6 (- 8 x)}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Etapa 1.3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1.1

Multiplique $- 8$ por $8$ .

$\frac{- 64 - 8 (- 6 x) + 6 \cdot 1 + 6 (- 8 x)}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.1.2

Multiplique $- 6$ por $- 8$ .

$\frac{- 64 + 48 x + 6 \cdot 1 + 6 (- 8 x)}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.1.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$\frac{- 64 + 48 x + 6 + 6 (- 8 x)}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.1.4

Multiplique $- 8$ por $6$ .

$\frac{- 64 + 48 x + 6 - 48 x}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.2

Combine os termos opostos em $- 64 + 48 x + 6 - 48 x$ .

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Etapa 1.3.3.2.1

Subtraia $48 x$ de $48 x$ .

$\frac{- 64 + 0 + 6}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.2.2

Some $- 64$ e $0$ .

$\frac{- 64 + 6}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.3

Some $- 64$ e $6$ .

$\frac{- 58}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Etapa 1.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{58}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Etapa 1.3.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.3.5.1

Fatore $2$ de $8 - 6 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.1.1

Fatore $2$ de $8$ .

$- \frac{58}{{(2 (4) - 6 x)}^{2}}$

Etapa 1.3.5.1.2

Fatore $2$ de $- 6 x$ .

$- \frac{58}{{(2 (4) + 2 (- 3 x))}^{2}}$

Etapa 1.3.5.1.3

Fatore $2$ de $2 (4) + 2 (- 3 x)$ .

$- \frac{58}{{(2 (4 - 3 x))}^{2}}$

Etapa 1.3.5.2

Aplique a regra do produto a $2 (4 - 3 x)$ .

$- \frac{58}{2^{2} {(4 - 3 x)}^{2}}$

Etapa 1.3.5.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- \frac{58}{4 {(4 - 3 x)}^{2}}$

Etapa 1.3.6

Cancele o fator comum de $58$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.1

Fatore $2$ de $58$ .

$- \frac{2 (29)}{4 {(4 - 3 x)}^{2}}$

Etapa 1.3.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.2.1

Fatore $2$ de $4 {(4 - 3 x)}^{2}$ .

$- \frac{2 (29)}{2 (2 {(4 - 3 x)}^{2})}$

Etapa 1.3.6.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{2 \cdot 29}{2 (2 {(4 - 3 x)}^{2})}$

Etapa 1.3.6.2.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = - \frac{29}{2 {(4 - 3 x)}^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 2.1.1

Como $- \frac{29}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{29}{2 {(4 - 3 x)}^{2}}$ em relação a $x$ é $- \frac{29}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 - 3 x)}^{2}}]$ .

$- \frac{29}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 - 3 x)}^{2}}]$

Etapa 2.1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{{(4 - 3 x)}^{2}}$ como ${({(4 - 3 x)}^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{29}{2} \frac{d}{d x} [{({(4 - 3 x)}^{2})}^{- 1}]$

Etapa 2.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(4 - 3 x)}^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{29}{2} \frac{d}{d x} [{(4 - 3 x)}^{2 \cdot - 1}]$

Etapa 2.1.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \frac{29}{2} \frac{d}{d x} [{(4 - 3 x)}^{- 2}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = 4 - 3 x$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 - 3 x$ .

$- \frac{29}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [4 - 3 x])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$- \frac{29}{2} (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [4 - 3 x])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 - 3 x$ .

$- \frac{29}{2} (- 2 {(4 - 3 x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [4 - 3 x])$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$2 (\frac{29}{2}) ({(4 - 3 x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [4 - 3 x])$

Etapa 2.3.2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.3.2.1

Combine $2$ e $\frac{29}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 29}{2} ({(4 - 3 x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [4 - 3 x])$

Etapa 2.3.2.2

Multiplique $2$ por $29$ .

$\frac{58}{2} ({(4 - 3 x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [4 - 3 x])$

Etapa 2.3.2.3

Combine ${(4 - 3 x)}^{- 3}$ e $\frac{58}{2}$ .

$\frac{{(4 - 3 x)}^{- 3} \cdot 58}{2} \frac{d}{d x} [4 - 3 x]$

Etapa 2.3.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.2.4.1

Mova $58$ para a esquerda de ${(4 - 3 x)}^{- 3}$ .

$\frac{58 \cdot {(4 - 3 x)}^{- 3}}{2} \frac{d}{d x} [4 - 3 x]$

Etapa 2.3.2.4.2

Mova ${(4 - 3 x)}^{- 3}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{58}{2 {(4 - 3 x)}^{3}} \frac{d}{d x} [4 - 3 x]$

Etapa 2.3.2.5

Cancele o fator comum de $58$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.5.1

Fatore $2$ de $58$ .

$\frac{2 \cdot 29}{2 {(4 - 3 x)}^{3}} \frac{d}{d x} [4 - 3 x]$

Etapa 2.3.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.5.2.1

Fatore $2$ de $2 {(4 - 3 x)}^{3}$ .

$\frac{2 \cdot 29}{2 ({(4 - 3 x)}^{3})} \frac{d}{d x} [4 - 3 x]$

Etapa 2.3.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 29}{2 {(4 - 3 x)}^{3}} \frac{d}{d x} [4 - 3 x]$

Etapa 2.3.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{29}{{(4 - 3 x)}^{3}} \frac{d}{d x} [4 - 3 x]$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - 3 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{29}{{(4 - 3 x)}^{3}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Etapa 2.3.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{29}{{(4 - 3 x)}^{3}} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Etapa 2.3.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{29}{{(4 - 3 x)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Etapa 2.3.6

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{29}{{(4 - 3 x)}^{3}} (- 3 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.7

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.1

Combine $- 3$ e $\frac{29}{{(4 - 3 x)}^{3}}$ .

$\frac{- 3 \cdot 29}{{(4 - 3 x)}^{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.7.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.7.2.1

Multiplique $- 3$ por $29$ .

$\frac{- 87}{{(4 - 3 x)}^{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.7.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{87}{{(4 - 3 x)}^{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{87}{{(4 - 3 x)}^{3}} \cdot 1$

Etapa 2.3.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{87}{{(4 - 3 x)}^{3}}$

Etapa 3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{87}{{(4 - 3 x)}^{3}}$ .

$- \frac{87}{{(4 - 3 x)}^{3}}$