Cálculo Exemplos

$f (x) = {(4 x^{5} - 1)}^{7}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{7}$ e $g (x) = 4 x^{5} - 1$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x^{5} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 1]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 7$ .

$7 u^{6} \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 1]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x^{5} - 1$ .

$7 {(4 x^{5} - 1)}^{6} \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 1]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{5} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$7 {(4 x^{5} - 1)}^{6} (\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 1.2.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{5}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$7 {(4 x^{5} - 1)}^{6} (4 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$7 {(4 x^{5} - 1)}^{6} (4 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 1.2.4

Multiplique $5$ por $4$ .

$7 {(4 x^{5} - 1)}^{6} (20 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 1.2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$7 {(4 x^{5} - 1)}^{6} (20 x^{4} + 0)$

Etapa 1.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.6.1

Some $20 x^{4}$ e $0$ .

$7 {(4 x^{5} - 1)}^{6} (20 x^{4})$

Etapa 1.2.6.2

Multiplique $20$ por $7$ .

$140 {(4 x^{5} - 1)}^{6} x^{4}$

Etapa 1.2.6.3

Reordene os fatores de $140 {(4 x^{5} - 1)}^{6} x^{4}$ .

$f' (x) = 140 x^{4} {(4 x^{5} - 1)}^{6}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $140$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $140 x^{4} {(4 x^{5} - 1)}^{6}$ em relação a $x$ é $140 \frac{d}{d x} [x^{4} {(4 x^{5} - 1)}^{6}]$ .

$140 \frac{d}{d x} [x^{4} {(4 x^{5} - 1)}^{6}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = {(4 x^{5} - 1)}^{6}$ .

$140 (x^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x^{5} - 1)}^{6}] + {(4 x^{5} - 1)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{6}$ e $g (x) = 4 x^{5} - 1$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x^{5} - 1$ .

$140 (x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 1]) + {(4 x^{5} - 1)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$140 (x^{4} (6 u^{5} \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 1]) + {(4 x^{5} - 1)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x^{5} - 1$ .

$140 (x^{4} (6 {(4 x^{5} - 1)}^{5} \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 1]) + {(4 x^{5} - 1)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 2.4

Diferencie.

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Etapa 2.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{5} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$140 (x^{4} (6 {(4 x^{5} - 1)}^{5} (\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(4 x^{5} - 1)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 2.4.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{5}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$140 (x^{4} (6 {(4 x^{5} - 1)}^{5} (4 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(4 x^{5} - 1)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 2.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$140 (x^{4} (6 {(4 x^{5} - 1)}^{5} (4 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(4 x^{5} - 1)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 2.4.4

Multiplique $5$ por $4$ .

$140 (x^{4} (6 {(4 x^{5} - 1)}^{5} (20 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(4 x^{5} - 1)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 2.4.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$140 (x^{4} (6 {(4 x^{5} - 1)}^{5} (20 x^{4} + 0)) + {(4 x^{5} - 1)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 2.4.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.4.6.1

Some $20 x^{4}$ e $0$ .

$140 (x^{4} (6 {(4 x^{5} - 1)}^{5} (20 x^{4})) + {(4 x^{5} - 1)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 2.4.6.2

Multiplique $20$ por $6$ .

$140 (x^{4} (120 {(4 x^{5} - 1)}^{5} x^{4}) + {(4 x^{5} - 1)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 2.5

Multiplique $x^{4}$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.5.1

Mova $x^{4}$ .

$140 (x^{4} x^{4} (120 {(4 x^{5} - 1)}^{5}) + {(4 x^{5} - 1)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 2.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$140 (x^{4 + 4} (120 {(4 x^{5} - 1)}^{5}) + {(4 x^{5} - 1)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 2.5.3

Some $4$ e $4$ .

$140 (x^{8} (120 {(4 x^{5} - 1)}^{5}) + {(4 x^{5} - 1)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$140 (x^{8} (120 {(4 x^{5} - 1)}^{5}) + {(4 x^{5} - 1)}^{6} (4 x^{3}))$

Etapa 2.7

Mova $4$ para a esquerda de ${(4 x^{5} - 1)}^{6}$ .

$140 (x^{8} (120 {(4 x^{5} - 1)}^{5}) + 4 \cdot {(4 x^{5} - 1)}^{6} x^{3})$

Etapa 2.8

Simplifique.

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Etapa 2.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$140 (x^{8} (120 {(4 x^{5} - 1)}^{5})) + 140 (4 {(4 x^{5} - 1)}^{6} x^{3})$

Etapa 2.8.2

Multiplique $120$ por $140$ .

$16800 (x^{8} ({(4 x^{5} - 1)}^{5})) + 140 (4 {(4 x^{5} - 1)}^{6} x^{3})$

Etapa 2.8.3

Multiplique $4$ por $140$ .

$16800 x^{8} {(4 x^{5} - 1)}^{5} + 560 ({(4 x^{5} - 1)}^{6} x^{3})$

Etapa 2.8.4

Fatore $560 x^{3} {(4 x^{5} - 1)}^{5}$ de $16800 x^{8} {(4 x^{5} - 1)}^{5} + 560 {(4 x^{5} - 1)}^{6} x^{3}$ .

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Etapa 2.8.4.1

Fatore $560 x^{3} {(4 x^{5} - 1)}^{5}$ de $16800 x^{8} {(4 x^{5} - 1)}^{5}$ .

$560 x^{3} {(4 x^{5} - 1)}^{5} (30 x^{5}) + 560 {(4 x^{5} - 1)}^{6} x^{3}$

Etapa 2.8.4.2

Fatore $560 x^{3} {(4 x^{5} - 1)}^{5}$ de $560 {(4 x^{5} - 1)}^{6} x^{3}$ .

$560 x^{3} {(4 x^{5} - 1)}^{5} (30 x^{5}) + 560 x^{3} {(4 x^{5} - 1)}^{5} (4 x^{5} - 1)$

Etapa 2.8.4.3

Fatore $560 x^{3} {(4 x^{5} - 1)}^{5}$ de $560 x^{3} {(4 x^{5} - 1)}^{5} (30 x^{5}) + 560 x^{3} {(4 x^{5} - 1)}^{5} (4 x^{5} - 1)$ .

$560 x^{3} {(4 x^{5} - 1)}^{5} (30 x^{5} + 4 x^{5} - 1)$

Etapa 2.8.5

Some $30 x^{5}$ e $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = 560 x^{3} {(4 x^{5} - 1)}^{5} (34 x^{5} - 1)$

Etapa 3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $560 x^{3} {(4 x^{5} - 1)}^{5} (34 x^{5} - 1)$ .

$560 x^{3} {(4 x^{5} - 1)}^{5} (34 x^{5} - 1)$