Cálculo Exemplos

$f (x) = \tan^{-1} (2 x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan^{-1} (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\tan^{-1} (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\tan^{-1} (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{1}{1 + {(2 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.2.1

Aplique a regra do produto a $2 (x)$ .

$\frac{1}{1 + 2^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.2.2.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.2.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + 4 x^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.2.4

Combine $2$ e $\frac{1}{1 + 4 x^{2}}$ .

$\frac{2}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2}{1 + 4 x^{2}} \cdot 1$

Etapa 1.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.6.1

Multiplique $\frac{2}{1 + 4 x^{2}}$ por $1$ .

$\frac{2}{1 + 4 x^{2}}$

Etapa 1.2.6.2

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{2}{4 x^{2} + 1}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 2.1.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2}{4 x^{2} + 1}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2} + 1}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2} + 1}]$

Etapa 2.1.2

Reescreva $\frac{1}{4 x^{2} + 1}$ como ${(4 x^{2} + 1)}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} + 1)}^{- 1}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = 4 x^{2} + 1$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x^{2} + 1$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x^{2} + 1$ .

$2 (- {(4 x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1])$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 ({(4 x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1])$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 2 {(4 x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.3.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 {(4 x^{2} + 1)}^{- 2} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 2 {(4 x^{2} + 1)}^{- 2} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.3.5

Multiplique $2$ por $4$ .

$- 2 {(4 x^{2} + 1)}^{- 2} (8 x + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.3.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 2 {(4 x^{2} + 1)}^{- 2} (8 x + 0)$

Etapa 2.3.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.7.1

Some $8 x$ e $0$ .

$- 2 {(4 x^{2} + 1)}^{- 2} (8 x)$

Etapa 2.3.7.2

Multiplique $8$ por $- 2$ .

$- 16 {(4 x^{2} + 1)}^{- 2} x$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 16 \frac{1}{{(4 x^{2} + 1)}^{2}} x$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

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Etapa 2.4.2.1

Combine $- 16$ e $\frac{1}{{(4 x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 16}{{(4 x^{2} + 1)}^{2}} x$

Etapa 2.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{16}{{(4 x^{2} + 1)}^{2}} x$

Etapa 2.4.2.3

Combine $x$ e $\frac{16}{{(4 x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 16}{{(4 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4.2.4

Mova $16$ para a esquerda de $x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 x}{{(4 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{16 x}{{(4 x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{16 x}{{(4 x^{2} + 1)}^{2}}$