Cálculo Exemplos

$f (x, y) = 9 x^{3} y + x y^{5}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 x^{3} y + x y^{5}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [x y^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [x y^{5}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [9 x^{3} y]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $9 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x^{3} y$ em relação a $x$ é $9 y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$9 y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x y^{5}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$9 y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x y^{5}]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $3$ por $9$ .

$27 y x^{2} + \frac{d}{d x} [x y^{5}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x y^{5}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $y^{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x y^{5}$ em relação a $x$ é $y^{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$27 y x^{2} + y^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$27 y x^{2} + y^{5} \cdot 1$

Etapa 1.3.3

Multiplique $y^{5}$ por $1$ .

$27 y x^{2} + y^{5}$

Etapa 1.4

Reordene os termos.

$f' (x) = y^{5} + 27 x^{2} y$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{5} + 27 x^{2} y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y^{5}] + \frac{d}{d x} [27 x^{2} y]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{5}] + \frac{d}{d x} [27 x^{2} y]$

Etapa 2.1.2

Como $y^{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y^{5}$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [27 x^{2} y]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [27 x^{2} y]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $27 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $27 x^{2} y$ em relação a $x$ é $27 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 27 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 27 y (2 x)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $27$ .

$0 + 54 y x$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Some $0$ e $54 y x$ .

$54 y x$

Etapa 2.3.2

Reordene os fatores de $54 y x$ .

$f'' (x) = 54 x y$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

Como $54 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $54 x y$ em relação a $x$ é $54 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$54 y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$54 y \cdot 1$

Etapa 3.3

Multiplique $54$ por $1$ .

$f''' (x) = 54 y$