Cálculo Exemplos

$y = 5 x^{8} - x^{9} + x^{2}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{8} - x^{9} + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{8}] + \frac{d}{d x} [- x^{9}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{8}] + \frac{d}{d x} [- x^{9}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{8}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{8}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{8}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [- x^{9}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 8$ .

$5 (8 x^{7}) + \frac{d}{d x} [- x^{9}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $8$ por $5$ .

$40 x^{7} + \frac{d}{d x} [- x^{9}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{9}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{9}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{9}]$ .

$40 x^{7} - \frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 9$ .

$40 x^{7} - (9 x^{8}) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$40 x^{7} - 9 x^{8} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 1.4.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$40 x^{7} - 9 x^{8} + 2 x$

Etapa 1.4.2

Reordene os termos.

$f' (x) = - 9 x^{8} + 40 x^{7} + 2 x$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 9 x^{8} + 40 x^{7} + 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 9 x^{8}] + \frac{d}{d x} [40 x^{7}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 9 x^{8}] + \frac{d}{d x} [40 x^{7}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 9 x^{8}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 x^{8}$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [x^{8}]$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [40 x^{7}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 8$ .

$- 9 (8 x^{7}) + \frac{d}{d x} [40 x^{7}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $8$ por $- 9$ .

$- 72 x^{7} + \frac{d}{d x} [40 x^{7}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [40 x^{7}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $40$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $40 x^{7}$ em relação a $x$ é $40 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$- 72 x^{7} + 40 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 7$ .

$- 72 x^{7} + 40 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $7$ por $40$ .

$- 72 x^{7} + 280 x^{6} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 72 x^{7} + 280 x^{6} + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 72 x^{7} + 280 x^{6} + 2 \cdot 1$

Etapa 2.4.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 72 x^{7} + 280 x^{6} + 2$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 72 x^{7} + 280 x^{6} + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 72 x^{7}] + \frac{d}{d x} [280 x^{6}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [- 72 x^{7}] + \frac{d}{d x} [280 x^{6}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 72 x^{7}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $- 72$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 72 x^{7}$ em relação a $x$ é $- 72 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$- 72 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [280 x^{6}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 7$ .

$- 72 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [280 x^{6}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $7$ por $- 72$ .

$- 504 x^{6} + \frac{d}{d x} [280 x^{6}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [280 x^{6}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $280$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $280 x^{6}$ em relação a $x$ é $280 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$- 504 x^{6} + 280 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$- 504 x^{6} + 280 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 3.3.3

Multiplique $6$ por $280$ .

$- 504 x^{6} + 1680 x^{5} + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 504 x^{6} + 1680 x^{5} + 0$

Etapa 3.4.2

Some $- 504 x^{6} + 1680 x^{5}$ e $0$ .

$f''' (x) = - 504 x^{6} + 1680 x^{5}$