Cálculo Exemplos

$y = \sec (2 x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\sec (u)$ em relação a $u$ é $\sec (u) \tan (u)$ .

$\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)$

Etapa 1.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2$

Etapa 1.2.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$f' (x) = 2 \sec (2 x) \tan (2 x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \sec (2 x) \tan (2 x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\sec (2 x) \tan (2 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sec (2 x) \tan (2 x)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sec (2 x)$ e $g (x) = \tan (2 x)$ .

$2 (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 x$ .

$2 (\sec (2 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\tan (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\sec^{2} (u_{1})$ .

$2 (\sec (2 x) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$2 (\sec (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Etapa 2.4

Eleve $\sec (2 x)$ à potência de $1$ .

$2 (\sec^{2} (2 x) \sec^{1} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Etapa 2.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 ({\sec (2 x)}^{2 + 1} \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Etapa 2.6

Diferencie.

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Etapa 2.6.1

Some $2$ e $1$ .

$2 (\sec^{3} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Etapa 2.6.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (\sec^{3} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Etapa 2.6.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (\sec^{3} (2 x) (2 \cdot 1) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Etapa 2.6.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.4.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 (\sec^{3} (2 x) \cdot 2 + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Etapa 2.6.4.2

Mova $2$ para a esquerda de $\sec^{3} (2 x)$ .

$2 (2 \cdot \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Etapa 2.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x$ .

$2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]))$

Etapa 2.7.2

A derivada de $\sec (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Etapa 2.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x$ .

$2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Etapa 2.8

Eleve $\tan (2 x)$ à potência de $1$ .

$2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{1} (2 x) \tan (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Etapa 2.9

Eleve $\tan (2 x)$ à potência de $1$ .

$2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{1} (2 x) \tan^{1} (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Etapa 2.10

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 (2 \sec^{3} (2 x) + {\tan (2 x)}^{1 + 1} (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Etapa 2.11

Some $1$ e $1$ .

$2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Etapa 2.12

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 2.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) (2 \cdot 1))$

Etapa 2.14

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.14.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) \cdot 2)$

Etapa 2.14.2

Mova $2$ para a esquerda de $\tan^{2} (2 x) \sec (2 x)$ .

$2 (2 \sec^{3} (2 x) + 2 \cdot (\tan^{2} (2 x) \sec (2 x)))$

Etapa 2.15

Simplifique.

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Etapa 2.15.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (2 \sec^{3} (2 x)) + 2 (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x))$

Etapa 2.15.2

Combine os termos.

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Etapa 2.15.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 \sec^{3} (2 x) + 2 (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x))$

Etapa 2.15.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 \sec^{3} (2 x) + 4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)$

Etapa 2.15.3

Reordene os termos.

$f'' (x) = 4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) + 4 \sec^{3} (2 x)$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) + 4 \sec^{3} (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)] + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)] + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x) \sec (2 x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x) \sec (2 x)] + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \tan^{2} (2 x)$ e $g (x) = \sec (2 x)$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)] + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x)]) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 3.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 x$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x)]) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Etapa 3.2.3.2

A derivada de $\sec (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x)]) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Etapa 3.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x)]) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Etapa 3.2.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x)]) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Etapa 3.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x)]) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Etapa 3.2.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \tan (2 x)$ .

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Etapa 3.2.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\tan (2 x)$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (2 x)])) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Etapa 3.2.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)])) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Etapa 3.2.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\tan (2 x)$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)])) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Etapa 3.2.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 3.2.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $2 x$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\tan (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x]))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Etapa 3.2.7.2

A derivada de $\tan (u_{3})$ em relação a $u_{3}$ é $\sec^{2} (u_{3})$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x]))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Etapa 3.2.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $2 x$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Etapa 3.2.8

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Etapa 3.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Etapa 3.2.10

Multiplique $2$ por $1$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Etapa 3.2.11

Mova $2$ para a esquerda de $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (2 \cdot (\sec (2 x) \tan (2 x))) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Etapa 3.2.12

Multiplique $\tan^{2} (2 x)$ por $\tan (2 x)$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.12.1

Mova $\tan (2 x)$ .

$4 (\tan (2 x) \tan^{2} (2 x) (2 \sec (2 x)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Etapa 3.2.12.2

Multiplique $\tan (2 x)$ por $\tan^{2} (2 x)$ .

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Etapa 3.2.12.2.1

Eleve $\tan (2 x)$ à potência de $1$ .

$4 (\tan^{1} (2 x) \tan^{2} (2 x) (2 \sec (2 x)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Etapa 3.2.12.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 ({\tan (2 x)}^{1 + 2} (2 \sec (2 x)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Etapa 3.2.12.3

Some $1$ e $2$ .

$4 (\tan^{3} (2 x) (2 \sec (2 x)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Etapa 3.2.13

Mova $2$ para a esquerda de $\tan^{3} (2 x)$ .

$4 (2 \cdot \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Etapa 3.2.14

Multiplique $2$ por $1$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) \cdot 2))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Etapa 3.2.15

Mova $2$ para a esquerda de $\sec^{2} (2 x)$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (2 \cdot \sec^{2} (2 x)))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Etapa 3.2.16

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + \sec (2 x) (4 \tan (2 x) \sec^{2} (2 x))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Etapa 3.2.17

Eleve $\sec (2 x)$ à potência de $1$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) (\sec^{1} (2 x) \sec^{2} (2 x))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Etapa 3.2.18

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) {\sec (2 x)}^{1 + 2}) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Etapa 3.2.19

Some $1$ e $2$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 \sec^{3} (2 x)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\sec^{3} (2 x)]$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 \frac{d}{d x} [\sec^{3} (2 x)]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \sec (2 x)$ .

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Etapa 3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{4}$ como $\sec (2 x)$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Etapa 3.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ é $n {u_{4}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 {u_{4}}^{2} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Etapa 3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{4}$ por $\sec (2 x)$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{5}$ como $2 x$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) (\frac{d}{d u_{5}} [\sec (u_{5})] \frac{d}{d x} [2 x]))$

Etapa 3.3.3.2

A derivada de $\sec (u_{5})$ em relação a $u_{5}$ é $\sec (u_{5}) \tan (u_{5})$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (u_{5}) \tan (u_{5}) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Etapa 3.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{5}$ por $2 x$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Etapa 3.3.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])))$

Etapa 3.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)))$

Etapa 3.3.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2))$

Etapa 3.3.7

Mova $2$ para a esquerda de $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) (2 \cdot (\sec (2 x) \tan (2 x))))$

Etapa 3.3.8

Multiplique $2$ por $3$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (6 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x)))$

Etapa 3.3.9

Eleve $\sec (2 x)$ à potência de $1$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (6 (\sec^{1} (2 x) \sec^{2} (2 x)) \tan (2 x))$

Etapa 3.3.10

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (6 {\sec (2 x)}^{1 + 2} \tan (2 x))$

Etapa 3.3.11

Some $1$ e $2$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (6 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Etapa 3.3.12

Multiplique $6$ por $4$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 24 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x)) + 4 (4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 24 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$

Etapa 3.4.2

Combine os termos.

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Etapa 3.4.2.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$8 (\tan^{3} (2 x) \sec (2 x)) + 4 (4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 24 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$

Etapa 3.4.2.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$8 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 16 (\tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 24 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$

Etapa 3.4.2.3

Reordene os fatores de $16 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)$ .

$8 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 16 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 24 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$

Etapa 3.4.2.4

Some $16 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$ e $24 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$ .

$f''' (x) = 8 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$