Cálculo Exemplos

$y = \frac{\cos (x)}{e^{x}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.2

Multiplique os expoentes em ${(e^{x})}^{2}$ .

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Etapa 1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Etapa 1.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 1.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$\frac{e^{x} (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} (- \sin (x)) - \cos (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.5.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- e^{x} \sin (x) - \cos (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

Etapa 1.5.1.2

Reordene os fatores em $- e^{x} \sin (x) - \cos (x) e^{x}$ .

$\frac{- e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)}{e^{2 x}}$

Etapa 1.5.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.5.2.1

Fatore $e^{x}$ de $- e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)$ .

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Etapa 1.5.2.1.1

Fatore $e^{x}$ de $- e^{x} \sin (x)$ .

$\frac{e^{x} (- \sin (x)) - e^{x} \cos (x)}{e^{2 x}}$

Etapa 1.5.2.1.2

Fatore $e^{x}$ de $- e^{x} \cos (x)$ .

$\frac{e^{x} (- \sin (x)) + e^{x} (- \cos (x))}{e^{2 x}}$

Etapa 1.5.2.1.3

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} (- \sin (x)) + e^{x} (- \cos (x))$ .

$\frac{e^{x} (- \sin (x) - \cos (x))}{e^{2 x}}$

Etapa 1.5.2.2

Fatore $- 1$ de $- \sin (x) - \cos (x)$ .

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Etapa 1.5.2.2.1

Fatore $- 1$ de $- \sin (x)$ .

$\frac{e^{x} (- (\sin (x)) - \cos (x))}{e^{2 x}}$

Etapa 1.5.2.2.2

Fatore $- 1$ de $- \cos (x)$ .

$\frac{e^{x} (- (\sin (x)) - (\cos (x)))}{e^{2 x}}$

Etapa 1.5.2.2.3

Fatore $- 1$ de $- (\sin (x)) - (\cos (x))$ .

$\frac{e^{x} (- (\sin (x) + \cos (x)))}{e^{2 x}}$

$\frac{e^{x} \cdot - 1 (\sin (x) + \cos (x))}{e^{2 x}}$

Etapa 1.5.2.3

Fatore o negativo.

$\frac{- e^{x} (\sin (x) + \cos (x))}{e^{2 x}}$

Etapa 1.5.3

Cancele o fator comum de $e^{x}$ e $e^{2 x}$ .

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Etapa 1.5.3.1

Fatore $e^{2 x}$ de $- e^{x} (\sin (x) + \cos (x))$ .

$\frac{e^{2 x} (- e^{- x} (\sin (x) + \cos (x)))}{e^{2 x}}$

Etapa 1.5.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.5.3.2.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{e^{2 x} (- e^{- x} (\sin (x) + \cos (x)))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Etapa 1.5.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{2 x} (- e^{- x} (\sin (x) + \cos (x)))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Etapa 1.5.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- e^{- x} (\sin (x) + \cos (x))}{1}$

Etapa 1.5.3.2.4

Divida $- e^{- x} (\sin (x) + \cos (x))$ por $1$ .

$- e^{- x} (\sin (x) + \cos (x))$

Etapa 1.5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = - e^{- x} \sin (x) - e^{- x} \cos (x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- e^{- x} \sin (x) - e^{- x} \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- e^{- x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- e^{- x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- e^{- x} \sin (x)]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- e^{- x} \sin (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [e^{- x} \sin (x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [e^{- x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{- x}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$- (e^{- x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Etapa 2.2.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 2.2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $- x$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Etapa 2.2.4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Etapa 2.2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- x$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Etapa 2.2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Etapa 2.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Etapa 2.2.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} \cdot - 1)) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Etapa 2.2.8

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- 1 \cdot e^{- x})) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Etapa 2.2.9

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- e^{- x} \cos (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (x)]$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (x)]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{- x}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Etapa 2.3.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 2.3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- x$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]))$

Etapa 2.3.4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]))$

Etapa 2.3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- x$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))$

Etapa 2.3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])))$

Etapa 2.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1)))$

Etapa 2.3.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} \cdot - 1))$

Etapa 2.3.8

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (- 1 \cdot e^{- x}))$

Etapa 2.3.9

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (- e^{- x}))$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- (e^{- x} \cos (x)) - (\sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (- e^{- x}))$

Etapa 2.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- (e^{- x} \cos (x)) - (\sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x))) - (\cos (x) (- e^{- x}))$

Etapa 2.4.3

Combine os termos.

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Etapa 2.4.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- e^{- x} \cos (x) + 1 (\sin (x) (e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x))) - (\cos (x) (- e^{- x}))$

Etapa 2.4.3.2

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$- e^{- x} \cos (x) + \sin (x) e^{- x} - (e^{- x} (- \sin (x))) - (\cos (x) (- e^{- x}))$

Etapa 2.4.3.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- e^{- x} \cos (x) + \sin (x) e^{- x} + 1 (e^{- x} (\sin (x))) - (\cos (x) (- e^{- x}))$

Etapa 2.4.3.4

Multiplique $e^{- x}$ por $1$ .

$- e^{- x} \cos (x) + \sin (x) e^{- x} + e^{- x} \sin (x) - (\cos (x) (- e^{- x}))$

Etapa 2.4.3.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- e^{- x} \cos (x) + \sin (x) e^{- x} + e^{- x} \sin (x) + 1 (\cos (x) (e^{- x}))$

Etapa 2.4.3.6

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$- e^{- x} \cos (x) + \sin (x) e^{- x} + e^{- x} \sin (x) + \cos (x) e^{- x}$

Etapa 2.4.3.7

Some $\sin (x) e^{- x}$ e $e^{- x} \sin (x)$ .

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Etapa 2.4.3.7.1

Reordene $\sin (x)$ e $e^{- x}$ .

$- e^{- x} \cos (x) + e^{- x} \sin (x) + e^{- x} \sin (x) + \cos (x) e^{- x}$

Etapa 2.4.3.7.2

Some $e^{- x} \sin (x)$ e $e^{- x} \sin (x)$ .

$- e^{- x} \cos (x) + 2 e^{- x} \sin (x) + \cos (x) e^{- x}$

Etapa 2.4.3.8

Some $- e^{- x} \cos (x)$ e $\cos (x) e^{- x}$ .

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Etapa 2.4.3.8.1

Reordene $\cos (x)$ e $e^{- x}$ .

$2 e^{- x} \sin (x) - e^{- x} \cos (x) + e^{- x} \cos (x)$

Etapa 2.4.3.8.2

Some $- e^{- x} \cos (x)$ e $e^{- x} \cos (x)$ .

$2 e^{- x} \sin (x) + 0$

Etapa 2.4.3.9

Some $2 e^{- x} \sin (x)$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 e^{- x} \sin (x)$