Cálculo Exemplos

$y = 4 x \sin^{-1} (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x \sin^{-1} (x)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x \sin^{-1} (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x \sin^{-1} (x)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \sin^{-1} (x)$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [\sin^{-1} (x)] + \sin^{-1} (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3

A derivada de $\sin^{-1} (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$4 (x \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \sin^{-1} (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 1.4.1

Combine $x$ e $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$4 (\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \sin^{-1} (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 (\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \sin^{-1} (x) \cdot 1)$

Etapa 1.4.3

Multiplique $\sin^{-1} (x)$ por $1$ .

$4 (\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \sin^{-1} (x))$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 4 \sin^{-1} (x)$

Etapa 1.5.2

Combine $4$ e $\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 4 \sin^{-1} (x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{4 x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 4 \sin^{-1} (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{4 x}{\sqrt{1 - x^{2}}}] + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x}{\sqrt{1 - x^{2}}}] + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{4 x}{\sqrt{1 - x^{2}}}]$ .

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Etapa 2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 - x^{2}}$ como ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Etapa 2.2.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 - x^{2}$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - x^{2}$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.7

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.8

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.10

Multiplique ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.11

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (2 x)))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.12

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.14

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.14.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (2 x)))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.14.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (2 x)))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - (2 x)))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.16

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 2 x))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.17

Subtraia $2 x$ de $0$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (- 2 x))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.18

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (- 2 x))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.19

Combine $- 2$ e $\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x)}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.20

Combine $\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.21

Mova ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.22

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.23

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.23.1

Fatore $2$ de $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{2 (- x)}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.23.2

Cancele o fator comum.

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.23.3

Reescreva a expressão.

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{- x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.24

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.25

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1 x \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.26

Multiplique $x$ por $1$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.27

Combine $x$ e $\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.28

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1} x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.29

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1} x^{1}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.30

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1 + 1}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.31

Some $1$ e $1$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.32

Para escrever ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 \frac{\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.33

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 \frac{\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.34

Multiplique ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.34.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 \frac{\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.34.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 \frac{\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} + x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.34.3

Some $1$ e $1$ .

$4 \frac{\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}} + x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.34.4

Divida $2$ por $2$ .

$4 \frac{\frac{{(1 - x^{2})}^{1} + x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.35

Simplifique ${(1 - x^{2})}^{1}$ .

$4 \frac{\frac{1 - x^{2} + x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.36

Some $- x^{2}$ e $x^{2}$ .

$4 \frac{\frac{1 + 0}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.37

Some $1$ e $0$ .

$4 \frac{\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.38

Multiplique os expoentes em ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.38.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.38.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.38.2.1

Cancele o fator comum.

$4 \frac{\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.38.2.2

Reescreva a expressão.

$4 \frac{\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.39

Simplifique.

$4 \frac{\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.40

Reescreva $\frac{\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{2}}$ como um produto.

$4 (\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{1 - x^{2}}) + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.41

Multiplique $\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{1 - x^{2}}$ .

$4 \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - x^{2})} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.42

Multiplique ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1 - x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.42.1

Multiplique ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1 - x^{2}$ .

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Etapa 2.2.42.1.1

Eleve $1 - x^{2}$ à potência de $1$ .

$4 \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{1}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.42.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.42.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$4 \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.42.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.42.4

Some $1$ e $2$ .

$4 \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.2.43

Combine $4$ e $\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 \sin^{-1} (x)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\sin^{-1} (x)]$ .

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + 4 \frac{d}{d x} [\sin^{-1} (x)]$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\sin^{-1} (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + 4 \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Etapa 2.3.3

Combine $4$ e $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4}{\sqrt{1^{2} - x^{2}}}$

Etapa 2.4.1.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Etapa 2.4.1.2

Multiplique $\frac{4}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ por $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Etapa 2.4.1.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.3.1

Multiplique $\frac{4}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ por $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Etapa 2.4.1.3.2

Eleve $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ à potência de $1$ .

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Etapa 2.4.1.3.3

Eleve $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ à potência de $1$ .

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}}$

Etapa 2.4.1.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}}$

Etapa 2.4.1.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}$

Etapa 2.4.1.3.6

Reescreva ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ como $(1 + x) (1 - x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ como ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.4.1.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.4.1.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.4.1.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.4.1.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{1}}$

Etapa 2.4.1.3.6.5

Simplifique.

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.2

Para escrever $\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}$ .

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.3

Para escrever $\frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)} \cdot \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.4.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.1

Multiplique $\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ por $\frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}$ .

$\frac{4 ((1 + x) (1 - x))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} ((1 + x) (1 - x))} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)} \cdot \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.4.4.2

Multiplique $\frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$ por $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{4 ((1 + x) (1 - x))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} ((1 + x) (1 - x))} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.4.4.3

Reordene os fatores de ${(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} ((1 + x) (1 - x))$ .

$\frac{4 ((1 + x) (1 - x))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.4.4.4

Reordene os fatores de $(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{4 ((1 + x) (1 - x))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 ((1 + x) (1 - x)) + 4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.1

Fatore $4$ de $4 (1 + x) (1 - x) + 4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.1.1

Fatore $4$ de $4 (1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{4 ((1 + x) (1 - x)) + 4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.1.2

Fatore $4$ de $4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{4 ((1 + x) (1 - x)) + 4 (\sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.1.3

Fatore $4$ de $4 ((1 + x) (1 - x)) + 4 (\sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})$ .

$\frac{4 ((1 + x) (1 - x) + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ como ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 ((1 + x) (1 - x) + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.3

Expanda $(1 + x) (1 - x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 (1 (1 - x) + x (1 - x) + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.4.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{4 (1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.4.1.2

Multiplique $- x$ por $1$ .

$\frac{4 (1 - x + x \cdot 1 + x (- x) + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.4.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{4 (1 - x + x + x (- x) + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.4.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{4 (1 - x + x - x \cdot x + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.4.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.4.1.5.1

Mova $x$ .

$\frac{4 (1 - x + x - (x \cdot x) + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.4.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{4 (1 - x + x - x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.4.2

Some $- x$ e $x$ .

$\frac{4 (1 + 0 - x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.4.3

Some $1$ e $0$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.5

Expanda $(1 + x) (1 - x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 (1 - x) + x (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.6.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.6.1.2

Multiplique $- x$ por $1$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 - x + x \cdot 1 + x (- x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.6.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 - x + x + x (- x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.6.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 - x + x - x \cdot x)}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.6.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.6.1.5.1

Mova $x$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 - x + x - (x \cdot x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.6.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 - x + x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.6.2

Some $- x$ e $x$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 + 0 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.6.3

Some $1$ e $0$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.7

Multiplique ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por ${(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.7.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.7.3

Some $1$ e $3$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{4}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.7.4

Divida $4$ por $2$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 - x^{2})}^{2})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.8

Reescreva ${(1 - x^{2})}^{2}$ como $(1 - x^{2}) (1 - x^{2})$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + (1 - x^{2}) (1 - x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.9

Expanda $(1 - x^{2}) (1 - x^{2})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 (1 - x^{2}) - x^{2} (1 - x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (- x^{2}) - x^{2} (1 - x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.9.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 - x^{2} (- x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.10

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.10.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.10.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 + 1 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 - x^{2} (- x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.10.1.2

Multiplique $- x^{2}$ por $1$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 - x^{2} - x^{2} \cdot 1 - x^{2} (- x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.10.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 - x^{2} - x^{2} - x^{2} (- x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.10.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.10.1.5

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.10.1.5.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1 (x^{2} x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.10.1.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2 + 2})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.10.1.5.3

Some $2$ e $2$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{4})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.10.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 - x^{2} - x^{2} + 1 x^{4})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.10.1.7

Multiplique $x^{4}$ por $1$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 - x^{2} - x^{2} + x^{4})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.10.2

Subtraia $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 - 2 x^{2} + x^{4})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.11

Some $1$ e $1$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 2 - 2 x^{2} + x^{4})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.12

Subtraia $2 x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$\frac{4 (- 3 x^{2} + 2 + x^{4})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.13

Reordene os termos.

$\frac{4 (x^{4} - 3 x^{2} + 2)}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.14

Reescreva $x^{4} - 3 x^{2} + 2$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.14.1

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{4 ({(x^{2})}^{2} - 3 x^{2} + 2)}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.14.2

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$\frac{4 (u^{2} - 3 u + 2)}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.14.3

Fatore $u^{2} - 3 u + 2$ usando o método AC.

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Etapa 2.4.6.14.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $2$ e cuja soma é $- 3$ .

$- 2, - 1$

Etapa 2.4.6.14.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{4 ((u - 2) (u - 1))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.14.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$\frac{4 ((x^{2} - 2) (x^{2} - 1))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.14.5

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{4 ((x^{2} - 2) (x^{2} - 1^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.6.14.6

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{4 ((x^{2} - 2) (x + 1) (x - 1))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

$\frac{4 (x^{2} - 2) (x + 1) (x - 1)}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 2.4.7

Reordene os termos.

$\frac{4 (x^{2} - 2) (x + 1) (x - 1)}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (x + 1) (1 - x)}$

Etapa 2.4.8

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (x^{2} - 2) (x + 1) (x - 1)}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (x + 1) (1 - x)}$

Etapa 2.4.9

Reescreva a expressão.

$\frac{4 (x^{2} - 2) (x - 1)}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 - x)}$

Etapa 2.4.10

Fatore $- 1$ de $x$ .

$\frac{4 (x^{2} - 2) (- 1 (- x) - 1)}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 - x)}$

Etapa 2.4.11

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{4 (x^{2} - 2) (- 1 (- x) - 1 (1))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 - x)}$

Etapa 2.4.12

Fatore $- 1$ de $- 1 (- x) - 1 (1)$ .

$\frac{4 (x^{2} - 2) (- 1 (- x + 1))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 - x)}$

Etapa 2.4.13

Reordene os termos.

$\frac{4 (x^{2} - 2) (- 1 (- x + 1))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (- x + 1)}$

Etapa 2.4.14

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (x^{2} - 2) (- 1 (- x + 1))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (- x + 1)}$

Etapa 2.4.15

Reescreva a expressão.

$\frac{4 (x^{2} - 2) \cdot (- 1)}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.4.16

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{- 4 (x^{2} - 2)}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.4.17

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{4 (x^{2} - 2)}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$