Cálculo Exemplos

$y = x^{2} e^{12 x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{12 x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{12 x}] + e^{12 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 12 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $12 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [12 x]) + e^{12 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [12 x]) + e^{12 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $12 x$ .

$x^{2} (e^{12 x} \frac{d}{d x} [12 x]) + e^{12 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (e^{12 x} (12 \frac{d}{d x} [x])) + e^{12 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} (e^{12 x} (12 \cdot 1)) + e^{12 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Multiplique $12$ por $1$ .

$x^{2} (e^{12 x} \cdot 12) + e^{12 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.3.2

Mova $12$ para a esquerda de $e^{12 x}$ .

$x^{2} (12 \cdot e^{12 x}) + e^{12 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} (12 e^{12 x}) + e^{12 x} (2 x)$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Reordene os termos.

$12 e^{12 x} x^{2} + 2 e^{12 x} x$

Etapa 1.4.2

Reordene os fatores em $12 e^{12 x} x^{2} + 2 e^{12 x} x$ .

$f' (x) = 12 x^{2} e^{12 x} + 2 x e^{12 x}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 x^{2} e^{12 x} + 2 x e^{12 x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12 x^{2} e^{12 x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{12 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{2} e^{12 x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{12 x}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x^{2} e^{12 x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{2} e^{12 x}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{12 x}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{12 x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{12 x}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{12 x}$ .

$12 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{12 x}] + e^{12 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{12 x}]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 12 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $12 x$ .

$12 (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [12 x]) + e^{12 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{12 x}]$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$12 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [12 x]) + e^{12 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{12 x}]$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $12 x$ .

$12 (x^{2} (e^{12 x} \frac{d}{d x} [12 x]) + e^{12 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{12 x}]$

Etapa 2.2.4

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 (x^{2} (e^{12 x} (12 \frac{d}{d x} [x])) + e^{12 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{12 x}]$

Etapa 2.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$12 (x^{2} (e^{12 x} (12 \cdot 1)) + e^{12 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{12 x}]$

Etapa 2.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$12 (x^{2} (e^{12 x} (12 \cdot 1)) + e^{12 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x e^{12 x}]$

Etapa 2.2.7

Multiplique $12$ por $1$ .

$12 (x^{2} (e^{12 x} \cdot 12) + e^{12 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x e^{12 x}]$

Etapa 2.2.8

Mova $12$ para a esquerda de $e^{12 x}$ .

$12 (x^{2} (12 e^{12 x}) + e^{12 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x e^{12 x}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x e^{12 x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x e^{12 x}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x e^{12 x}]$ .

$12 (x^{2} (12 e^{12 x}) + e^{12 x} (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} [x e^{12 x}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{12 x}$ .

$12 (x^{2} (12 e^{12 x}) + e^{12 x} (2 x)) + 2 (x \frac{d}{d x} [e^{12 x}] + e^{12 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 12 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $12 x$ .

$12 (x^{2} (12 e^{12 x}) + e^{12 x} (2 x)) + 2 (x (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [12 x]) + e^{12 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$12 (x^{2} (12 e^{12 x}) + e^{12 x} (2 x)) + 2 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [12 x]) + e^{12 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $12 x$ .

$12 (x^{2} (12 e^{12 x}) + e^{12 x} (2 x)) + 2 (x (e^{12 x} \frac{d}{d x} [12 x]) + e^{12 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.4

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 (x^{2} (12 e^{12 x}) + e^{12 x} (2 x)) + 2 (x (e^{12 x} (12 \frac{d}{d x} [x])) + e^{12 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$12 (x^{2} (12 e^{12 x}) + e^{12 x} (2 x)) + 2 (x (e^{12 x} (12 \cdot 1)) + e^{12 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$12 (x^{2} (12 e^{12 x}) + e^{12 x} (2 x)) + 2 (x (e^{12 x} (12 \cdot 1)) + e^{12 x} \cdot 1)$

Etapa 2.3.7

Multiplique $12$ por $1$ .

$12 (x^{2} (12 e^{12 x}) + e^{12 x} (2 x)) + 2 (x (e^{12 x} \cdot 12) + e^{12 x} \cdot 1)$

Etapa 2.3.8

Mova $12$ para a esquerda de $e^{12 x}$ .

$12 (x^{2} (12 e^{12 x}) + e^{12 x} (2 x)) + 2 (x (12 \cdot e^{12 x}) + e^{12 x} \cdot 1)$

Etapa 2.3.9

Multiplique $e^{12 x}$ por $1$ .

$12 (x^{2} (12 e^{12 x}) + e^{12 x} (2 x)) + 2 (x (12 e^{12 x}) + e^{12 x})$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$12 (x^{2} (12 e^{12 x})) + 12 (e^{12 x} (2 x)) + 2 (x (12 e^{12 x}) + e^{12 x})$

Etapa 2.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$12 (x^{2} (12 e^{12 x})) + 12 (e^{12 x} (2 x)) + 2 (x (12 e^{12 x})) + 2 e^{12 x}$

Etapa 2.4.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1

Multiplique $12$ por $12$ .

$144 (x^{2} (e^{12 x})) + 12 (e^{12 x} (2 x)) + 2 (x (12 e^{12 x})) + 2 e^{12 x}$

Etapa 2.4.3.2

Multiplique $2$ por $12$ .

$144 x^{2} e^{12 x} + 24 (e^{12 x} (x)) + 2 (x (12 e^{12 x})) + 2 e^{12 x}$

Etapa 2.4.3.3

Multiplique $12$ por $2$ .

$144 x^{2} e^{12 x} + 24 e^{12 x} x + 24 (x (e^{12 x})) + 2 e^{12 x}$

Etapa 2.4.3.4

Some $24 e^{12 x} x$ e $24 x e^{12 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.4.1

Mova $e^{12 x}$ .

$144 x^{2} e^{12 x} + 24 x e^{12 x} + 24 x e^{12 x} + 2 e^{12 x}$

Etapa 2.4.3.4.2

Some $24 x e^{12 x}$ e $24 x e^{12 x}$ .

$144 x^{2} e^{12 x} + 48 x e^{12 x} + 2 e^{12 x}$

Etapa 2.4.4

Reordene os termos.

$144 e^{12 x} x^{2} + 48 e^{12 x} x + 2 e^{12 x}$

Etapa 2.4.5

Reordene os fatores em $144 e^{12 x} x^{2} + 48 e^{12 x} x + 2 e^{12 x}$ .

$f'' (x) = 144 x^{2} e^{12 x} + 48 x e^{12 x} + 2 e^{12 x}$