Cálculo Exemplos

$f (θ) = \sec^{2} (2 θ)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ é $f' (g (θ)) g' (θ)$ , em que $f (θ) = θ^{2}$ e $g (θ) = \sec (2 θ)$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sec (2 θ)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d θ} [\sec (2 θ)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d θ} [\sec (2 θ)]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sec (2 θ)$ .

$2 \sec (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec (2 θ)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ é $f' (g (θ)) g' (θ)$ , em que $f (θ) = \sec (θ)$ e $g (θ) = 2 θ$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 θ$ .

$2 \sec (2 θ) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Etapa 1.2.2

A derivada de $\sec (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$2 \sec (2 θ) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 θ$ .

$2 \sec (2 θ) (\sec (2 θ) \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Etapa 1.3

Eleve $\sec (2 θ)$ à potência de $1$ .

$2 (\sec^{1} (2 θ) \sec (2 θ)) (\tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Etapa 1.4

Eleve $\sec (2 θ)$ à potência de $1$ .

$2 (\sec^{1} (2 θ) \sec^{1} (2 θ)) (\tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Etapa 1.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 {\sec (2 θ)}^{1 + 1} (\tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Etapa 1.6

Some $1$ e $1$ .

$2 \sec^{2} (2 θ) (\tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Etapa 1.7

Como $2$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $2 θ$ em relação a $θ$ é $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$2 \sec^{2} (2 θ) \tan (2 θ) (2 \frac{d}{d θ} [θ])$

Etapa 1.8

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 \sec^{2} (2 θ) \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [θ]$

Etapa 1.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ é $n θ^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \sec^{2} (2 θ) \tan (2 θ) \cdot 1$

Etapa 1.10

Multiplique $4$ por $1$ .

$f' (θ) = 4 \sec^{2} (2 θ) \tan (2 θ)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $4$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $4 \sec^{2} (2 θ) \tan (2 θ)$ em relação a $θ$ é $4 \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ) \tan (2 θ)]$ .

$4 \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ) \tan (2 θ)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ é $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ , em que $f (θ) = \sec^{2} (2 θ)$ e $g (θ) = \tan (2 θ)$ .

$4 (\sec^{2} (2 θ) \frac{d}{d θ} [\tan (2 θ)] + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ é $f' (g (θ)) g' (θ)$ , em que $f (θ) = \tan (θ)$ e $g (θ) = 2 θ$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 θ$ .

$4 (\sec^{2} (2 θ) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d θ} [2 θ]) + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\tan (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\sec^{2} (u_{1})$ .

$4 (\sec^{2} (2 θ) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d θ} [2 θ]) + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 θ$ .

$4 (\sec^{2} (2 θ) (\sec^{2} (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]) + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Etapa 2.4

Multiplique $\sec^{2} (2 θ)$ por $\sec^{2} (2 θ)$ somando os expoentes.

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Etapa 2.4.1

Mova $\sec^{2} (2 θ)$ .

$4 (\sec^{2} (2 θ) \sec^{2} (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ] + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Etapa 2.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 ({\sec (2 θ)}^{2 + 2} \frac{d}{d θ} [2 θ] + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Etapa 2.4.3

Some $2$ e $2$ .

$4 (\sec^{4} (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ] + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Etapa 2.5

Diferencie.

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Etapa 2.5.1

Como $2$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $2 θ$ em relação a $θ$ é $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$4 (\sec^{4} (2 θ) (2 \frac{d}{d θ} [θ]) + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ é $n θ^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 (\sec^{4} (2 θ) (2 \cdot 1) + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Etapa 2.5.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.5.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$4 (\sec^{4} (2 θ) \cdot 2 + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Etapa 2.5.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $\sec^{4} (2 θ)$ .

$4 (2 \cdot \sec^{4} (2 θ) + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ é $f' (g (θ)) g' (θ)$ , em que $f (θ) = θ^{2}$ e $g (θ) = \sec (2 θ)$ .

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Etapa 2.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\sec (2 θ)$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + \tan (2 θ) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d θ} [\sec (2 θ)]))$

Etapa 2.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + \tan (2 θ) (2 u_{2} \frac{d}{d θ} [\sec (2 θ)]))$

Etapa 2.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sec (2 θ)$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + \tan (2 θ) (2 \sec (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec (2 θ)]))$

Etapa 2.7

Mova $2$ para a esquerda de $\tan (2 θ)$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 \cdot \tan (2 θ) \sec (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec (2 θ)])$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ é $f' (g (θ)) g' (θ)$ , em que $f (θ) = \sec (θ)$ e $g (θ) = 2 θ$ .

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Etapa 2.8.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $2 θ$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 \tan (2 θ) \sec (2 θ) (\frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d θ} [2 θ]))$

Etapa 2.8.2

A derivada de $\sec (u_{3})$ em relação a $u_{3}$ é $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 \tan (2 θ) \sec (2 θ) (\sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d θ} [2 θ]))$

Etapa 2.8.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $2 θ$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 \tan (2 θ) \sec (2 θ) (\sec (2 θ) \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]))$

Etapa 2.9

Eleve $\tan (2 θ)$ à potência de $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 (\tan^{1} (2 θ) \tan (2 θ)) \sec (2 θ) (\sec (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]))$

Etapa 2.10

Eleve $\tan (2 θ)$ à potência de $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 (\tan^{1} (2 θ) \tan^{1} (2 θ)) \sec (2 θ) (\sec (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]))$

Etapa 2.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 {\tan (2 θ)}^{1 + 1} \sec (2 θ) (\sec (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]))$

Etapa 2.12

Some $1$ e $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 \tan^{2} (2 θ) \sec (2 θ) (\sec (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]))$

Etapa 2.13

Eleve $\sec (2 θ)$ à potência de $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 \tan^{2} (2 θ) (\sec^{1} (2 θ) \sec (2 θ)) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Etapa 2.14

Eleve $\sec (2 θ)$ à potência de $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 \tan^{2} (2 θ) (\sec^{1} (2 θ) \sec^{1} (2 θ)) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Etapa 2.15

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 \tan^{2} (2 θ) {\sec (2 θ)}^{1 + 1} \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Etapa 2.16

Some $1$ e $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 \tan^{2} (2 θ) \sec^{2} (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Etapa 2.17

Como $2$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $2 θ$ em relação a $θ$ é $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 \tan^{2} (2 θ) \sec^{2} (2 θ) (2 \frac{d}{d θ} [θ]))$

Etapa 2.18

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 4 \tan^{2} (2 θ) \sec^{2} (2 θ) \frac{d}{d θ} [θ])$

Etapa 2.19

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ é $n θ^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 4 \tan^{2} (2 θ) \sec^{2} (2 θ) \cdot 1)$

Etapa 2.20

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 4 \tan^{2} (2 θ) \sec^{2} (2 θ))$

Etapa 2.21

Simplifique.

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Etapa 2.21.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (2 \sec^{4} (2 θ)) + 4 (4 \tan^{2} (2 θ) \sec^{2} (2 θ))$

Etapa 2.21.2

Combine os termos.

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Etapa 2.21.2.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$8 \sec^{4} (2 θ) + 4 (4 \tan^{2} (2 θ) \sec^{2} (2 θ))$

Etapa 2.21.2.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$8 \sec^{4} (2 θ) + 16 \tan^{2} (2 θ) \sec^{2} (2 θ)$

Etapa 2.21.3

Reordene os termos.

$f'' (θ) = 16 \sec^{2} (2 θ) \tan^{2} (2 θ) + 8 \sec^{4} (2 θ)$

Etapa 3

A segunda derivada de $f (θ)$ com relação a $θ$ é $16 \sec^{2} (2 θ) \tan^{2} (2 θ) + 8 \sec^{4} (2 θ)$ .

$16 \sec^{2} (2 θ) \tan^{2} (2 θ) + 8 \sec^{4} (2 θ)$