Cálculo Exemplos

$y = 7 x^{2} + 2 x - e^{4 x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x^{2} + 2 x - e^{4 x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{4 x}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x^{2}$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{4 x}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$7 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{4 x}]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $2$ por $7$ .

$14 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{4 x}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$14 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{4 x}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$14 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{4 x}]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$14 x + 2 + \frac{d}{d x} [- e^{4 x}]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- e^{4 x}]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- e^{4 x}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$14 x + 2 - \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 1.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x$ .

$14 x + 2 - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 1.4.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$14 x + 2 - (e^{u} \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 1.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x$ .

$14 x + 2 - (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 1.4.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$14 x + 2 - (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 1.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$14 x + 2 - (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

Etapa 1.4.5

Multiplique $4$ por $1$ .

$14 x + 2 - (e^{4 x} \cdot 4)$

Etapa 1.4.6

Mova $4$ para a esquerda de $e^{4 x}$ .

$14 x + 2 - (4 \cdot e^{4 x})$

Etapa 1.4.7

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f' (x) = 14 x + 2 - 4 e^{4 x}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $14 x + 2 - 4 e^{4 x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [14 x]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $14$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $14 x$ em relação a $x$ é $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$14 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $14$ por $1$ .

$14 + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}]$

Etapa 2.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$14 + 0 + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 e^{4 x}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$14 + 0 - 4 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x$ .

$14 + 0 - 4 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 2.4.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$14 + 0 - 4 (e^{u} \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 2.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x$ .

$14 + 0 - 4 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 2.4.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$14 + 0 - 4 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 2.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$14 + 0 - 4 (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

Etapa 2.4.5

Multiplique $4$ por $1$ .

$14 + 0 - 4 (e^{4 x} \cdot 4)$

Etapa 2.4.6

Mova $4$ para a esquerda de $e^{4 x}$ .

$14 + 0 - 4 (4 \cdot e^{4 x})$

Etapa 2.4.7

Multiplique $4$ por $- 4$ .

$14 + 0 - 16 e^{4 x}$

Etapa 2.5

Some $14$ e $0$ .

$f'' (x) = 14 - 16 e^{4 x}$