Cálculo Exemplos

$y = θ^{2} (8 θ + 4)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ é $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ , em que $f (θ) = θ^{2}$ e $g (θ) = 8 θ + 4$ .

$θ^{2} \frac{d}{d θ} [8 θ + 4] + (8 θ + 4) \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 θ + 4$ com relação a $θ$ é $\frac{d}{d θ} [8 θ] + \frac{d}{d θ} [4]$ .

$θ^{2} (\frac{d}{d θ} [8 θ] + \frac{d}{d θ} [4]) + (8 θ + 4) \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

Etapa 1.2.2

Como $8$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $8 θ$ em relação a $θ$ é $8 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$θ^{2} (8 \frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [4]) + (8 θ + 4) \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ é $n θ^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$θ^{2} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d θ} [4]) + (8 θ + 4) \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

Etapa 1.2.4

Multiplique $8$ por $1$ .

$θ^{2} (8 + \frac{d}{d θ} [4]) + (8 θ + 4) \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

Etapa 1.2.5

Como $4$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $4$ em relação a $θ$ é $0$ .

$θ^{2} (8 + 0) + (8 θ + 4) \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

Etapa 1.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.6.1

Some $8$ e $0$ .

$θ^{2} \cdot 8 + (8 θ + 4) \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

Etapa 1.2.6.2

Mova $8$ para a esquerda de $θ^{2}$ .

$8 \cdot θ^{2} + (8 θ + 4) \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

Etapa 1.2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ é $n θ^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$8 θ^{2} + (8 θ + 4) (2 θ)$

Etapa 1.2.8

Mova $2$ para a esquerda de $8 θ + 4$ .

$8 θ^{2} + 2 \cdot (8 θ + 4) θ$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$8 θ^{2} + (2 (8 θ) + 2 \cdot 4) θ$

Etapa 1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$8 θ^{2} + 2 (8 θ) θ + 2 \cdot 4 θ$

Etapa 1.3.3

Combine os termos.

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Etapa 1.3.3.1

Multiplique $8$ por $2$ .

$8 θ^{2} + 16 θ \cdot θ + 2 \cdot 4 θ$

Etapa 1.3.3.2

Eleve $θ$ à potência de $1$ .

$8 θ^{2} + 16 (θ^{1} θ) + 2 \cdot 4 θ$

Etapa 1.3.3.3

Eleve $θ$ à potência de $1$ .

$8 θ^{2} + 16 (θ^{1} θ^{1}) + 2 \cdot 4 θ$

Etapa 1.3.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$8 θ^{2} + 16 θ^{1 + 1} + 2 \cdot 4 θ$

Etapa 1.3.3.5

Some $1$ e $1$ .

$8 θ^{2} + 16 θ^{2} + 2 \cdot 4 θ$

Etapa 1.3.3.6

Multiplique $2$ por $4$ .

$8 θ^{2} + 16 θ^{2} + 8 θ$

Etapa 1.3.3.7

Some $8 θ^{2}$ e $16 θ^{2}$ .

$f' (θ) = 24 θ^{2} + 8 θ$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $24 θ^{2} + 8 θ$ com relação a $θ$ é $\frac{d}{d θ} [24 θ^{2}] + \frac{d}{d θ} [8 θ]$ .

$\frac{d}{d θ} [24 θ^{2}] + \frac{d}{d θ} [8 θ]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d θ} [24 θ^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $24$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $24 θ^{2}$ em relação a $θ$ é $24 \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$ .

$24 \frac{d}{d θ} [θ^{2}] + \frac{d}{d θ} [8 θ]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ é $n θ^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$24 (2 θ) + \frac{d}{d θ} [8 θ]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $24$ .

$48 θ + \frac{d}{d θ} [8 θ]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d θ} [8 θ]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $8$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $8 θ$ em relação a $θ$ é $8 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$48 θ + 8 \frac{d}{d θ} [θ]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ é $n θ^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$48 θ + 8 \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $8$ por $1$ .

$f'' (θ) = 48 θ + 8$